三角函数最值问题求解策略

于周好

摘要：解决三角函数最值问题的基本途径：一方面应充分利用三角函数自身的特殊性，如有界性.另一方面还要注意将求解三角函数最值问题，转化为求一些我们所熟知的函数如二次函数等最值问题.

关键词：三角函数最值 配方转化 有界性转化 单调性转化

三角函数这一章节，在近几年高考中，已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函数最值问题.且一般以选择、填空题形式出现，难度不大.

下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.

1.配方转化

经转化，最后化归为二次函数的三角函数最值问题，称为二次函数型.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，这是求解二次函数型三角最值得主要依据.对能够化为形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题，可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决.

二次函数的对称轴不在t∈[-1，1]的范围内，且二次项系数a>0，其图象开口向上，结合二次函数的图象可知当t=-1，ymin=-6；当t=1，ymax=4.

感悟：这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式， 可以采用换元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，运用二次函数配方的技巧正确配方，易错在二次项系数，如本题中二次项系数是-2，对应二次函数开口向下，配方过程中要先提出负号；其三要把握三角函数sinx或cosx的范围，注意观察二次函数对称轴与换元后变量的范围的关系.值得注意的是，当变量x有一定范围时，更要注意换元量t的范围，防止出错.

2.有界性转化

三角函数尤其正弦、余弦是一种有界函数，其有界性在解决值域、最值或者取值范围等问题显得灵活.对于所给的三角函数能够通过三角恒等变换，结合正余弦的两角和差公式，升降幂公式和二倍角公式，对所给的式子化简为形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函数的有界性，在变量x没有特定范围的情况下，其值域为[-A，A]求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.

感悟：求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值.针对高考中题目看，还要强化变角训练，如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个角的三角函数关系式，这也是高考的重点.由此题可见，灵活运用三角函数的有界性，能使问题的求解直接明了！

3.单调性转化

对于三角函数来说， 结合三角函数的图象，判断三角函数对应区间的单调性，利用三角函数在给定区间单调性是求解三角函数函数最值问题常用的一种转化策略.此种题型直接考查三角函数的性质及图象的变换.常常是先化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式，与例题2中的转化方法类似，区别在于复合角 （ωx+φ）区间的特定性.

摘要：解决三角函数最值问题的基本途径：一方面应充分利用三角函数自身的特殊性，如有界性.另一方面还要注意将求解三角函数最值问题，转化为求一些我们所熟知的函数如二次函数等最值问题.

关键词：三角函数最值 配方转化 有界性转化 单调性转化

三角函数这一章节，在近几年高考中，已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函数最值问题.且一般以选择、填空题形式出现，难度不大.

下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.

1.配方转化

经转化，最后化归为二次函数的三角函数最值问题，称为二次函数型.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，这是求解二次函数型三角最值得主要依据.对能够化为形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题，可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决.

二次函数的对称轴不在t∈[-1，1]的范围内，且二次项系数a>0，其图象开口向上，结合二次函数的图象可知当t=-1，ymin=-6；当t=1，ymax=4.

感悟：这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式， 可以采用换元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，运用二次函数配方的技巧正确配方，易错在二次项系数，如本题中二次项系数是-2，对应二次函数开口向下，配方过程中要先提出负号；其三要把握三角函数sinx或cosx的范围，注意观察二次函数对称轴与换元后变量的范围的关系.值得注意的是，当变量x有一定范围时，更要注意换元量t的范围，防止出错.

2.有界性转化

三角函数尤其正弦、余弦是一种有界函数，其有界性在解决值域、最值或者取值范围等问题显得灵活.对于所给的三角函数能够通过三角恒等变换，结合正余弦的两角和差公式，升降幂公式和二倍角公式，对所给的式子化简为形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函数的有界性，在变量x没有特定范围的情况下，其值域为[-A，A]求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.

感悟：求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值.针对高考中题目看，还要强化变角训练，如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个角的三角函数关系式，这也是高考的重点.由此题可见，灵活运用三角函数的有界性，能使问题的求解直接明了！

3.单调性转化

对于三角函数来说， 结合三角函数的图象，判断三角函数对应区间的单调性，利用三角函数在给定区间单调性是求解三角函数函数最值问题常用的一种转化策略.此种题型直接考查三角函数的性质及图象的变换.常常是先化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式，与例题2中的转化方法类似，区别在于复合角 （ωx+φ）区间的特定性.

摘要：解决三角函数最值问题的基本途径：一方面应充分利用三角函数自身的特殊性，如有界性.另一方面还要注意将求解三角函数最值问题，转化为求一些我们所熟知的函数如二次函数等最值问题.

关键词：三角函数最值 配方转化 有界性转化 单调性转化

三角函数这一章节，在近几年高考中，已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而多考查求解三角函数最值问题.且一般以选择、填空题形式出现，难度不大.

下面介绍几种常见的三角函数最值的求解策略.

1.配方转化

经转化，最后化归为二次函数的三角函数最值问题，称为二次函数型.闭区间上的二次函数一定存在最大值、最小值，这是求解二次函数型三角最值得主要依据.对能够化为形如y=asin2x+bsinx+c或y=acos2x+bcosx+c的三角函数最值问题，可看作是sinx或cosx的二次函数最值问题，常常利用配方转化策略来解决.

二次函数的对称轴不在t∈[-1，1]的范围内，且二次项系数a>0，其图象开口向上，结合二次函数的图象可知当t=-1，ymin=-6；当t=1，ymax=4.

感悟：这类问题在求解中，要注意三个方面的问题：其一要将三角函数准确变形为sinx或cosx的二次函数的形式， 可以采用换元的的方式，令或cosx=t，t∈[-1，1]；其二，运用二次函数配方的技巧正确配方，易错在二次项系数，如本题中二次项系数是-2，对应二次函数开口向下，配方过程中要先提出负号；其三要把握三角函数sinx或cosx的范围，注意观察二次函数对称轴与换元后变量的范围的关系.值得注意的是，当变量x有一定范围时，更要注意换元量t的范围，防止出错.

2.有界性转化

三角函数尤其正弦、余弦是一种有界函数，其有界性在解决值域、最值或者取值范围等问题显得灵活.对于所给的三角函数能够通过三角恒等变换，结合正余弦的两角和差公式，升降幂公式和二倍角公式，对所给的式子化简为形如y=Asin（ωx+φ）+k的形式，常常可以利用三角函数的有界性，在变量x没有特定范围的情况下，其值域为[-A，A]求解其最值.这是解决三角函数最值问题常用的策略之一.

感悟：求解这类问题的关键是先将所给的三角函数化为一个角的三角函数问题，然后利用三角函数的有界性求其最值.针对高考中题目看，还要强化变角训练，如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个角的三角函数关系式，这也是高考的重点.由此题可见，灵活运用三角函数的有界性，能使问题的求解直接明了！

3.单调性转化

对于三角函数来说， 结合三角函数的图象，判断三角函数对应区间的单调性，利用三角函数在给定区间单调性是求解三角函数函数最值问题常用的一种转化策略.此种题型直接考查三角函数的性质及图象的变换.常常是先化为y=Asin（ωx+φ）+k的形式，与例题2中的转化方法类似，区别在于复合角 （ωx+φ）区间的特定性.