数值分析课程教学改革初探

王 艳

(重庆师范大学数学学院，重庆 401331)

数值分析，又称为数值计算方法，是一门介绍科学计算的基础理论和数值方法的课程，现已成为数学类专业以及大多数工科类专业的一门必修课。该课程不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而着重研究求解的数值计算方法及与此有关的理论。因此，它是一门应用性很广很强的学科，无论是在科研还是在工程处理中都会涉及到，所以大学教育中数值分析课程的传授方式非常重要，要求学生不仅掌握相关的理论知识还要会使用这些知识［1］。

然而在实际教学中，该课程的实际教学效果并不理想，许多学生对该课程的学习感到困难。所以，为数值分析课程寻找科学有效的教学方法仍是值得探讨的一个课题，很多学者对此进行了探究［2－4］。本文针对当前数值分析课程在数学专业教学中存在的一些问题和教学方法、教学模式等方面进行探讨，目的在于改进教学方法和手段，激发学生兴趣，提高教学效果。

一、数值分析课程的特点及教学中存在的问题

数值分析是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程，它不仅具有数学的高度抽象性与严密的科学性的特点，而且具有应用的广泛性与数值试验的高度技术性的特点［5］。教学中，这门课程存在以下几方面的问题。

(一)知识面广，理论性强，学生学习兴趣不高

数值分析是数学与应用数学、信息与计算科学和统计学专业的必修课程，它内容丰富，包括解线性方程组的直接法和迭代法、非线性方程(组)的数值解法、矩阵特征值与特征向量的计算、数值逼近、数值积分、常微分方程数值计算等，涉及数学分析、代数学、微分方程和泛函分析等诸多学科。另外，作为一门数学类课程，它又不可避免地会涉及到一些抽象的理论，如误差分析、算法的收敛性、稳定性分析等。学生拿到课本时，往往感觉这门课程太难，就没有兴趣，而一旦在课堂上遇到困难时，甚至会选择放弃学习。

(二)算法推导多，公式冗长，学生记忆起来困难

综观教科书，不难发现，数值分析大部分内容都是在讲算法，课堂上大部分时间花费在算法的公式推导和理论验证上。这门课程的公式比其他数学课程的公式更加繁多，更加冗长。学生往往课堂上“听懂了”，“记住了”，但后面上课用到时发现以前学的公式又全忘了，不得不回过头去翻课本。比如三次样条插值，三弯矩方法最终推导出一个关于弯矩的线性方程组，要想求得最终的插值函数就需要准确求解这个线性方程组，这时候我们通常用前面所学的追赶法来做，然而很多学生对追赶法特别是系数矩阵三角分解的计算公式早就忘记了。

(三)理论为主，实验为辅，学生应用能力不强

数值分析是一门与计算机应用密切结合的实用性很强的数学课程，但在当前教学中，仍然存在理论与实践脱离的现象。虽然这门课程都安排有实验课，但课时往往比较少，仅够学生验证课本涉及到的相关算法，无法满足学生从实际应用的角度展开实验的设计和运行。而且，目前的实验教学，无论是内容上还是形式上都附属于理论教学，先讲理论，然后让学生编程验证。此外，由于上机考试难以制定科学合理的评分标准，教师只能根据学生平时实验课上的表现、报告手册的完成情况，以及最终的上机考试题目运行情况给出一个大致的评定等级，很难准确给出具体的分数。因此，这门课程的最终考核成绩基本上由理论笔试部分决定。这种教学形式和考核方式容易使得学生在思想上重视理论，轻视实践，上机时就把课本附带的源程序照抄上去草草了事，实验课的效果大打折扣。

二、数值分析课程教学改革探索

(一)因“才”施教，合理取舍教学内容

“才”指的是数值分析课程传授的对象，这里主要是指数学与应用数学、信息与计算科学和统计学专业的本科生。这三个专业的学生虽然都属数学类专业，但基础知识和实践技能却不尽相同，因此在传授时不能搞一刀切，要根据学生的特点，优化教学内容，更新教案，寻找一种喜乐见闻的教学形式。比如，数学与应用数学专业的学生基础知识较好，但编程能力往往不强，教学中要注重计算方法的构造原理及其稳定性、收敛性和误差分析等理论的证明［4］。同时，加强实践指导，实验题目的设计要由简到易，循序渐进。而信息与计算科学专业学生往往具有较强的编程能力，但数学基础欠佳。教学中，应淡化数学理论的证明，侧重方法讲解和算法设计，强化计算方法在计算机上的应用［7－8］。

数值分析课程所涉及的内容非常丰富，要让学生在有限的学时内掌握所有的内容是不现实的，因此必须合理取舍教学内容，突出重点，不可泛泛而讲。比如根据学生专业的特点，可以将主要的教学时间安排在讲解误差分析、插值、数值积分、方程和方程组的解法上面［9］。在矩阵特征值计算方面，有时间的条件下可以简单介绍思想方法，而对于常微分方程初边值问题的数值解可以舍去，因为有些专业的学生没有学常微分方程，所以这部分知识理解起来比较困难。

(二)更新教学模式，习题训练和实验相结合

数学课程的传统教学大都采用黑板板书形式，这种教学模式并不完全适用于数值分析课程。这是因为数值分析课程中含有大量的矩阵和冗长的公式，如果单纯使用黑板板书，一方面费时费力，另一方面有限的黑板很难完整地显示整个推导过程，教师无法把前后联系起来讲解。因此，可以将板书和多媒体结合起来进行教学，充分利用两种教学模式的优点，取长补短。对基本概念、方法、计算技巧和理论证明等的讲授可按传统的教学方式为主，而将公式应用、复杂计算、计算框图、程序设计和图形动画等利用多媒体课件进行演示，这样不仅能提高教学效率和教学效果，而且能使学生对所学知识更加容易理解和掌握［2］。另外，实验课最好使用有投影的机房，这样教师在演示算法的时候学生可以有更直观的感受。实验教学如果能够配合使用凌波多媒体教学系统进行，效果会更好。凌波教学系统在教学上发挥的作用相当好，它能够实时地把班级全部学生端电脑屏幕画面同时显示在教师端。这在方便教师管理教学秩序的同时，也有利于教师了解学生实验运行情况，有针对性地及时作出反馈和指导。该系统提供的收发文件的功能使得收发实验作业很方便，教师就可以将学生上课要用到的素材发布到指定的学生机地址，学生也可以把要上传的资料发送到教师端，而且作业上传到的是教师端指定的文件夹中，能够有效地避免学生之间拷贝资料的现象。

为了加深学生对课堂讲授的知识，特别是定理、公式的理解和记忆，我们大都会通过例题来演示算法过程，然后布置类似的作业题让学生巩固所学知识。但由于数值分析的题目往往涉及到复杂的数字运算，手算起来要花费很多时间，而且前一步算错，后一步就难以进行下去。例如，在用幂法求矩阵的主特征值和主特征向量的例5－1中［10］，对于给定的三阶矩阵，为了最终得到尽可能准确的结果，每一次迭代都保留小数点后面8位有效数字，这样的计算仅仅借助手工是非常困难的，而将习题训练和实验编程结合起来运作就可以解决这一问题。手工写作有利于理清题目的解题思路和计算步骤，实验编程可以快捷准确地给出计算结果，两者结合不仅可以快速解题，提高学生的编程能力，而且这种同一算法双重训练有助于学生加强对算法和公式的记忆。

(三)理论和实践有机结合，培养应用能力

数值分析这门课程在强调基本概念和理论的基础上非常重视实际应用，特别是数值方法在计算机上的实现［10］。算法讲授之后，学生如果没有动手在计算机上实践，算法步骤和公式靠死记硬背，这种学习方式无法达到这门课程的培养目标。教学中，要强调实践的重要性，适当增加实践环节的课时，同时加强实践教学的力度。实践环节可以分为两个基本内容，第一个内容是教材上经典算法的编程验证。对于每一个算法，首先帮助学生理清算法的结构和层次，引导学生画出程序流程图，然后让学生根据流程图编制出程序，并上机调试运行。第二个内容是基本算法应用于解决实际问题。设计与课程中的主要算法有关的实际案例，鼓励学生灵活应用所学知识进而编程解决实际问题，这不仅有助于培养学生的应用能力，而且可以激发学生学习数值分析的兴趣和热情，使这门课程不再是空洞的理论累积课。

在课程考核上，设置科学合理的实验考核内容和方式可以引起学生对实验足够的重视，有助于确保实验教学的质量和课程教学目标的实现。考试题目除了涉及到重要原理和基本算法的考查外，还应该适当地增加一些综合性的可以让学生自由发挥的题目，以便考查学生对所学知识的理解和运用能力。考核方式可以采用前期实验准备(如编写流程图)、课堂基本操作、算法运行实现，以及综合设计型实验相结合的多环节考核形式，每个环节给出一个评定等级，最终成绩由这几部分按照一定的比重计算得出。这样做出的考核结果客观公正，能较为全面地反映学生的具体实践情况和实际操作能力，而且方便学生查找自身不足，从而有针对性地训练。

三、结束语

经过近几年数值分析课程教学改革和实践，本课程的教学效果呈现出越来越好的势态。然而，随着科学技术的迅速发展和高等教育的不断改革，数值分析课程的教学改革仍有很长的路需要走。本文结合自身的教学实践，对数值分析课程的教学提出了一些建议，但是，教学改革是一个不断的实践过程，需要任课教师共同努力，在教学中不断总结经验，更新教学内容和手段，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力，真正达到数值分析课程对高校学生培养目标的要求。

［1］ 张伟红．Matlab软件融入数值分析教学［J］．合肥师范学院学报，2012，30(3):14 －17．

［2］ 李小林．关于数值计算方法课程教学改革的探讨［J］．重庆文理学院学报，2010，29(2):85 －87．

［3］ 刘明，方海林．《数值分析》课程教学改革探讨［J］．铜陵学院学报，2012(3):116－117．

［4］ 杜廷松．关于《数值分析》课程教学改革研究的综述和思考［J］．大学数学，2007，23(2):8 －15．

［5］ 沈剑华．数值计算基础［M］．上海:同济大学出版社，2008．

［6］ 李新秀．数值分析课程实践性教学的探索与实践［J］．高师理科学刊，2012，32(1):82 －84．

［7］ 张韵华，陈效群．数值计算方法课程改革初步［J］．大学数学，2003，19(3):23 －26．

［8］ 殷明，朱晓临，陈晓红，等．计算方法课程改革的设想与实践［J］．大学数学，2006，22(5):15 －17．

［9］ 黄文芝，张蕾．“数值分析”课程教学改革浅谈．中国电力教育，2012(5):39－40．

［10］王金铭，谢彦红，杜洪波．数值分析［M］．大连:大连理工大学出版社，2012．