一类含有梯度项的奇异抛物方程古典解的存在性*

夏 莉 ，李敬娜

(1.深圳大学数学与计算科学学院，广东深圳518060;2.暨南大学数学系，广东广州510632)

本文研究如下一类具有奇性的抛物方程

这里α，β 是正数，QT=(0，1)×(0，T］(T ＞0)，r =是一个单位球，N≥2).假设f(x，t)及φ(x)关于x 是径向对称的函数，因此在问题(1)～(3)中，我们用f(r，t)、φ(r)及v(r，t)分别表示，并记v' =vr，v″=vrr.

问题(1)与某些方程密切相关，这些方程在物理、化学及生物学上应用背景很强.当α =N -1 时，问题(1)与如下一类奇异型抛物方程等价:

若α=N-1，β =1 或β =p/(p -1)(p ＞1)，令w =-ln v 或w=［(p-1)v］1/(1-p)(v ＞0)，则问题(1)～(3)可转化为如下奇异型抛物方程

这里h(r，t)=ew(r)或w(r)p，F(φ)= -ln φ(r)或［(p-1)φ(r)］1/(1-p).

问题(4)、(5)～(7)在文献［1］-［3］中得到了一些讨论.ZHOU 等［1］研究了一类与问题(4)相关的一维热方程狄利克雷问题，证明了正古典解和多解的存在性结果. XIA 等［2-3］研究了问题(4)在一般的有界光滑区域下正古典解的适定性及相应的渐近行为，间接得到了问题(5)～(7)的一般古典解的存在性;并在更弱的初边值条件下证明了问题(4)在高维情形时最大弱解的存在性.有关问题(4)～(5)更详细的背景及相关热传导方程的径向解问题，请分别参阅文献［1］-［5］、［6］-［8］及其后参考文献.

本文将讨论问题(1)～(3)在某些条件下古典解的存在性，并间接得到问题(4)、(5)在不同情形下径向对称的古典解.

假设f(r，t)满足

(F1)0 ＜f(r，t)Cγ，γ/2((0，1)×(0，T))，γ(0，1);

φ 满足

(H1)0 ＜φC2+γ(0，1)，φ(0)=φ(1)=0，并且

本文的主要结果如下:

定理1 令α ＞0，β ＞α +1，假设条件(H1)、(F1)成立，并且φ 还满足如下条件:

推论1 当N ＞1，β ＞N 或p ＜N/(N-1)时，问题(4)或问题(5)～(7)存在一个非负古典径向解.

由于方程(1)在点r =0 及v(r，t)=0 处有奇性，故需要将其正则化，转而研究如下正则化问题

为简化运算，记Aξ = ξt- ξ″，bε(r，t，ξ，η)=

非负函数w 被称为问题(8)～(10)的古典下解，如果wC1，0)∩C2，1(［0，1］×(0，T］)，且

将上述不等式符号反号，即得古典上解的定义.

接下来将构造问题(8)～(10)的一个古典上解和一个古典下解.

证明 简单计算可得

选取

易证v是问题(8)～(10)的古典下解.

引理2 假设α ＞0，β ＞α +1，条件(H2)成立.令v1ε=C2et(r+ε1/2)2，v2ε=C2et(1 +ε1/2-r)2，=min{v1ε，v2ε}，这里C2≥1 是待定常数. 则是问题(8)～(10)的一个古典上解.

证明 只需证明

由于ε≤C2et(r+ε1/2)2=v1ε，则

C3≥1 是一个待定常数. 则是问题(8)～(10)的一个古典上解.

证明 易见wε是如下问题的古典解:

简单计算可得

由式(11)，可得

由引理1～引理3 及文献［9］的定理4.5，问题(8)～(10)至少有一个古典解vε，并且

引理4 记Q'T=［δ，1 -δ］×(0，T］，这里δ ＞0是任意小于1/2 的常数. 则存在某个数μ(0，1)，使得这里C 不依赖于ε.

证明 对任意Q'T⊂⊂QT，选取Qi，T=［δi，1 -δi］×(0，T］(i=1，2，3)，这里δ ＜δ1＜δ2＜δ3＜1/2.则对方程

令ε →0+，再由式(12)，可得，则满足初边值条件(2)～(3).

若β ＞α+1，α ＞0，当ε→0+时，由式(12)可得

由上式可得:

［1］ZHOU W S，LEI P D. A one - dimensional nonlinear heat equation with a singular term［J］. J Math Anal Appl，2010，368(2):711 -726.

［2］XIA L，YAO Z A. Existence，uniqueness and asymptotic behavior of solutions for a singular parabolic equation［J］. J Math Anal Appl，2009，358(1):182 -188.

［3］XIA L，LIU Q，YAO Z A. Existence of the maximal weak solution for a class of singular parabolic equations［J］.J Math Anal Appl，2012，387(1):439 -446.

［4］CHANG C F，NI W M，WANG X F. Further study on a nonlinear heat equation［J］. J Differential Equations，2001，169(2):581 -613.

［5］ZAGG H. On the regularity of the blow - up set for semilinear heat equations［J］. Ann Inst H Poincaré，2002，19(5):505 -542.

［6］BARTSCH T，POLÁǍIK P，QUITTNER P. Liouville -type theorems and asymptotic behavior of nodal radial solutions of semilinear heat equations［J］. J Eur Math Soc，2011，13(1):219 -247.

［7］ISHIWATA M. On the asymptotic behavior of unbounded radial solutions for semilinear parabolic problems involving critical Sobolev exponent［J］. J Differential Equations，2010，249(6):1466 -1482.

［8］LIANG F，LI Y. Blow-up for a nonlocal parabolic equation［J］. Nonlinear Analysis，2009，71(7 -8):3551 -3562.

［9］AMANN H. Periodic solutions of semilinear parabolic equations［M］.New York:Nonlinear Analysis，Academic Press，1978:1 -29.

［10］LADYZENSKAJA O A，SOLONNIKOV V A，URAL'CEVA N N. Linear and quasi - linear equations of parabolic type［M］. New York:American Mathematical Society，1968.