椭圆曲线的Bézier多项式逼近

王 珺

（巢湖学院数学系，安徽 巢湖 238000）

引言

椭圆曲线是一种在绘图、机械加工中常用的圆锥曲线.因为CAD/CAM系统只能处理有理多项式或多项式曲线，所以椭圆曲线在该系统中无法精确表示.因此对椭圆进行有理逼近就显得十分重要。文献[1-3]用低次的Bézier曲线逼近圆弧，文献[4]利用在最小二乘法范数下所定义的距离函数取最小值来得到圆弧的Bézier多项式曲线。本文给出了椭圆曲线的Bézier多项式逼近，首先利用Tchbyshev多项式去逼近椭圆，再利用Tchebyshev基与Bernstein基的基转换公式得到椭圆的n次Bézier多项式逼近。该算法同样适合圆弧的逼近。

1 椭圆曲线的Bézier多项式逼近及其逼近的误差函数

1.1 预备知识

中心在坐标原点，主轴为x轴方向的椭圆，其标准形式为：

其中，θ为参数，a和b分别表示椭圆的长、短轴的长度。非标准形式的椭圆曲线都可通过仿射变换转化为标准形式。因此，本文只考虑标准形式的椭圆曲线的Bézier多项式逼近。

引理 1[5]如果函数 f（x）在区间［-1， 1］上连续；f′（x）在区间［-1， 1］上分段连续，则 f（x）在［-1，1］上可展开为一致收敛的Tchebyshev级数，其形式为：

其中， Ti（x）=cos（iarccosx）为第一类 Tchebyshev 多项式。

引理 2[6]Tchebyshev 基转化成 Bernstein 基的基转化矩阵为 M：｛Mij｝，i，j=1，2，…，n 其中

1.2 椭圆曲线的Bézier多项式逼近

对（1）式作参数变换 θ=α+（β-α）t，则当 θ∈［α，β］ 时，t∈［0，1］，式（1）变为：

下面先讨论 x（t）的逼近。

寻求一个 n（n＞3）次多项式

逼近 x（t），并且满足插值条件：

根据引理，将自变量区间［-1，1］变到区间［0，1］，可以对x=（t）分别进行 Tchebyshev 展开：

其中：

由引理2可得：

综上所述，得到插值C（t）首、末端点的n次Bézier多项式逼近：

1.3 圆弧逼近的误差函数

定义1 椭圆曲线的Bézier多项式逼近的误差函数为：

2 实例

图1 椭圆的9次Bézier多项式逼近曲线， ε=6.31×10-4

图2 椭圆的 12次 Bézier多项式逼近曲线，ε=7.39×10-7

结论

本文提出的逼近椭圆的方法，可以用任意次数的Bézier多项式去近似的表示椭圆，而且可以插值椭圆的首末端点。通过例1可以看出用这种方法逼近椭圆，逼近误差小，逼近效果较好。

[1]Dokken T,Daehlen M,Lyche T,et al.Good approximation of circles by curvature-continuous Bézier curves[J].Computer Aided Geometric Design,1990，7（1-4）：33-41.

[2]Goldapp M.Approximation of circular arcs by cubic polynomials[J].Computer Aided Geometric Design,1991，8（3）：227-238.

[3]Young J A,Hong O K.Approximation of circular arcs by Bézier curves[J].Journal of Computational and Applied Mathematics,1997：81，145-163.

[4]郭清伟.圆弧曲线段和球面曲面片的多项式逼近[J].中国图像图形学报，2007，12（1）：153-158.

[5]易大义，陈道琦.数值分析引论[M].杭州：浙江大学出版社，1998：147-148.

[6]Abedallah R.Transformation of Chebyshev-Bernstein polynomial basis[J].Computational methods in applied mathematics,2003，3（4）：608-622.