在直线上找一点使它到直线同侧两点的距离和最小教学初探

张震康

几何作图是几何基础知识的基本要求，而在初中几何作图中，最值问题的作图是比较困难的作图，这类题型是历年来中考数学的热点，备受青睐，而这类题型比较贴近生活实际，创意新颖设计巧妙，很能激起学生的学习兴趣，也能考查学生的综合能力，也正是因为综合知识的运用，所以往往比较难以想到求作方法，如人教版八年级上册第42页探究题就是这类最值问题。

课本探究题：如图要在燃气管道1上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道什么地方，可使所用输气管最短？（图1）

我们可以把管道1近似看作一条直线，问题就是在l上找一点C，使AC与CA的和最小，即在直线上确定一点，使它到直线同侧两点的距离这和最小，这是最常见的最值问题，如图2，课本是这样处理的：

以1为对称轴做A（或B）的对称点A′（或B′），连结A′B（或AB′）？交l于C点？？，C即所求点

证明如图3

为了证明点C的位置就是所求，我们不妨在直线1上另外取一点C′.连接AC′，BC′，A′C′.

因为直线l是点A、A′的对称轴，点C，C′在L上，所以CA=CA′，C'A=C′A′.

AC+CB=A′C+CB=A′B

在AA′BC′中，

∵A'B

∴AC+CB

即AC+CB最小。

如果按照课本上方法直接去作图，学生很难理解为什么这样作图，为什么这么点是最点。

但是稍作改动，设想如果两个点在管道的两旁如下图如何作图？这样问题就简单化了，很多同学都可以马上回答：连接A、B两点交l于C，点C即为所求。

为什么？那是因为两点之间线段最短。

假如这两个镇在管道的同侧呢，又如何确定这个泵站的位置？能否把A镇或者B镇移到管道的另一侧去呢？如图4.实际上可行吗？那怎么办？我们可以在图上代表A、B镇的点在图上移动，这样的移动要符合什么条件？使它到管道上每一点的距离与原址到管道的距离一样，这时你联想到什么？线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等，线段是关于线段垂直平分线轴对称图形，即这两点关于直线L对称，那么怎么作图也就明白了，这样作图就容易多了，对课本的作法和证明方法也就自然而然地理解了。

这时要求学生自己动手作点A或者点B的对称点A′（或B′），然后连接A′B（或者AB′）交1于点C.（如图5）问题得到解决。