扩充Ockham 代数类上的保序映射

赵秀兰，马红娟

(黄河科技学院 信息工程学院，河南 郑州450063)

Ockham 代数［1］是指一个有界分配格(L;∧，∨，0，1)被赋予一个偶同态运算f．在Ockham 代数类中，有两个重要子类—德摩根代数(简记为M代数)和Berman 类Kp，q-代数．所谓M代数，是指其上所赋予的一元偶同态运算f同时满足关系式:f2=id．所谓Kp，q-代数，是指一个Ockham 代数L上所赋予的一元偶同态运算f由关系式f2p+q=fq(p≥1，q≥0)所确定．Blyth 教授和方捷教授在Ockham 代数的基础上定义了扩充Ockham代数类［2］，简称eΟ-代数．所谓eΟ-代数是指一个有界分配格(L;∧，∨，0，1)被赋予两个一元运算偶自同态f和同态k，并且f与k可以交换．文献［3］研究了eΟ-代数的重要子类扩充德摩根代数．方捷在文献［4］中定义了Ockham 代数类上的保序映射．本文将定义扩充Ockham 代数类上的保序映射，并刻画保序映射的性质．

便于讨论，沿用文献［2］中的符号．设(L;∧，∨，f，k，0，1)∈eΟ，符号em，nΑ 表示eΟ-代数的子类，即:

将符号S(L)={f2(x)|x∈L}称为L的骨架．

设(L;∧，∨，f1，k1，0，1)∈eΟ 和(M;∧，∨，f2，k2，0，1)∈eΟ，符号H(L，M)表示由L到M的全体保序映射构成的集合．

为了进一步讨论H(L，M)的性质，在H(L，M)上定义如下两个两元运算∧和∨，设任意的τ，φ∈H(L，

同时，更深一步在(H(L，M);∧，∨)上定义两个一元运算f和k，∀x∈L:

在上述定义方式下，(H(L，M);∧，∨，f，k)具有下面的性质定理．

定理1 设(L;∧，∨，f1，k1，0，1)∈eΟ 和(M;∧，∨，f2，k2，0，1)∈eΟ，则(H(L，M);∧，∨，f，k)∈eΟ．证明 由文献［5］知(H(L，M);∧，∨)构成了一个有界分配格．

假设0 和1 分别表示H(L，M)中的最小保序映射与最大保序映射，即∀x∈L，0(x)=0，1(x)=1．

由f的定义可得，∀x∈L，有:(f(0))(x)=f2［0(f1(x))］=f2(0)=1，(f(1))(x)=f2［1(f1(x))］=f2(1)=0，于是得到f(0)=1，f(1)=0．

设∀τ，φ∈H(L，M)，∀x∈L，有:

从而得:f(τ∧φ)=f(τ)∨f(φ)，f(τ∨φ)=f(τ)∧f(φ)．由文献［1］得(H(L，M);∧，∨，f)∈Ο．

又由k的定义可得，∀x∈L，(k(0))(x)=k2［0(k1(x))］=k2(0)= 0，(k(1))(x)=k2［1(k1(x))］=k2(1)=1，于是得到k(0)=0，k(1)=1．设∀τ，φ∈H(L，M)，∀x∈L，

从而得:k(τ∧φ)=k(τ)∧k(φ)，k(τ∨φ)=k(τ)∨k(φ)．

即(f k)(τ)=(k f)(τ)，于是得f k=k f．

综上由文献［2］得:(H(L，M);∧，∨，f，k)∈eΟ，定理得证．

推论1 设(L;∧，∨，f1，k1，0，1)，(M;∧，∨，f2，k2，0，1)∈em，nk1，1，则(H(L，M);∧，∨，f，k)∈em，nk1，1．

证明 由定理1 得:(H(L，M);∧，∨，f，k)∈eΟ，欲证命题成立，由文献［1-2］知:只需验证f=f3，km=kn．由文献［2］已知，结合f的定义可得:

设∀τ∈H(L，M)，∀x∈L，有:

即得f=f3．

设(L;∧，∨，f1，k1，0，1)，(M;∧，∨，f2，k2，0，1)∈eΟ，在(H(L，M);∧，∨，f，k)的基础上引出以下术语．

设τ∈H(L，M)，若有f(τ)= τ，k(τ)= τ，则称τ 为H(L，M)中的固定点．记符号H*(L，M)= {τ∈H(L，M)|∀x∈L，τ(f1(x))=f2(τ(x))，τ(k1(x))=k2(τ(x))}，易见H(L，M)中的最小保序映射0∉H*(L，M)且最大保序映射1∉H*(L，M)，所以有H*(L，M)≠H(L，M)．

定理2 若L∈e2，0M，则集合H*(L，M)为(H(L，M);∧，∨，f，k)中的全体固定点所构成的集合．

证明 设τ∈H(L，M)且τ 为H(L，M)中的固定点，即f(τ)=τ，k(τ)=τ．

由f，k的定义可得，∀x∈L，

将上述表达式(1)中的x替换为f1(x)，表达式(2)中的x替换为k1(x)可得:

由于L∈e2，0M，因为f12(x)=x，k12(x)=x，所以有:τ(f1(x))=f2［τ(x)］，τ(k1(x))=k2［τ(x)］，即τ∈H*(L，M)．

另一方面，设τ∈H*(L，M)，即τ(f1(x))=f2(τ(x))，τ(k1(x))=k2(τ(x))．结合f，k的定义，∀x∈L，有(f(τ))(x)=f2［τ(f1(x))］=τ(f12(x))=τ(x)，(k(τ))(x)=k2［τ(k1(x))］=τ(k12(x))=τ(x)．于是得:f(τ)=τ，k(τ)=τ，因此τ 是(H(L，M);∧，∨，f，k)中的固定点．定理得证．

推论2 设L∈e2，0K1，1，M∈eΟ，则(H(L，M);∧，∨，f，k)有固定点当且仅当H*(L，M)≠∅．

证明 设τ∈H(L，M)且τ 为H(L，M)中的固定点，由定理2 得:τ(k1(x))=k2(τ(x))．

又因为τ(x)=(f(τ))(x)=f2［τ(f1(x))］(∀x∈L)，将该表达式中的x分别用替换可得

另一方面，设τ∈H*(L，M)，即

所以f(τ)为H(L，M)中的固定点．定理得证．

为进一步刻画H(L，M)的性质，可得L的骨架S(L)与L有下面的关系定理．

定理3 设(L;∧，∨，f1，k1，0，1)∈em，nk1，1，则S(L)为L的一个子代数．

证明 由S(L)的定义可得S(L)⊆L为L的子格且0，1∈S(L)．

下证S(L)保持运算f1，k1的封闭性．

令x∈S(L)，则存在x0∈L，使得:x=f12(x0)，从而有:f1(x)=f1３(x0)=f12(f1(x0))．

由于f1(x0)∈L，所以f1(x)∈S(L)．又因为(L;∧，∨，f1，k1，0，1)∈em，nk1，1，由文献［4］知:f1k1=k1f1，f1=f13，故有

由于f1(k1(f1(x0)))∈L，因此k1(x)∈S(L)．定理得证．

定理4 设(L;∧，∨，f1，k1，0，1)∈em，nk1，1，(M;∧，∨，f2，k2，0，1)∈em，nk1，1，则(H(S(L)，S(M));∧，∨，f，k)≅(S(H(L，M));∧，∨，f，k)．

证明 设τ∈H(S(L)，S(M))，定义映射:τ*:L→M，∀x∈L，τ*(x)=τ(f12(x))．

由定理3 得:S(L)，S(M)分别为L，M的子代数，故有τ*∈H(L，M)．

又因为L∈em，nK1，1，由于f1=f13，从而可得:f12=f14，于是对于任意的x∈L，根据运算f，τ*的定义可得:

于是有τ*=f2(τ*)，所以τ*∈S(H(L，M))．

再定义映射φ:H(S(L)，S(M))→S(H(L，M))，∀τ∈H(S(L)，S(M))，φ(τ)=τ*．

下证映射φ 为一个格同态．设τ1，τ2∈H(S(L)，S(M))，x∈L，则:

所以φ(τ1∧τ2)=φ(τ1)∧φ(τ2)．

同理可得φ(τ1∨τ2)=φ(τ1)∨φ(τ2)．

下证映射φ 满足运算f，k的封闭性． 设τ∈H(S(L)，S(M))，x∈L，则(φ(f(τ)))(x)=(f(τ))*(x)，故有:φf=fφ．同理φk=kφ．

下证映射φ 是单射．设∀τ1，τ2∈H(S(L)，S(M))，若φ(τ1)= φ(τ2)，即∀x∈L满足τ1*(x)= τ2*(x)，从而τ1(f12(x))=τ2(f12(x))．由于x在L中具有任意性，于是f12(x)为S(L)的任一元素，所以τ1=τ2，故映射φ 是单射．

下证映射φ 是满射．由推论1 得(H(L，M);∧，∨，f，k)∈em，nk1，1．设h∈S(H(L，M))，则h=f2(h)．取保序映射t∈H(S(L)，S(M))，∀x∈S(L)，t(x)=f22h(x)，则有φ(t)=h．

因为(φ(t))(x)=t*(x)=t(f12(x))=f22h(f12(x))=f2(f(h)f1(x))=f2(h)(x)=h(x)，所以映射φ 是满射．综上定理得证．

［1］ Blyth T S，Varlet J C． Ockham algebras［M］．Oxford University Press，1994．

［2］ Blyth T S，Jie Fang． Extended Ockham algebras［J］．Communications in Algebra，2000，28(3):1271-1284．

［3］ Jie Fang． Equational bases for subvarieties of e2Malgebras［J］．South Asian Bull Math，2003，27:279-288．

［4］ Fang Jie． The isotone mappings on Ockham algebras［J］．Acta Mathematica Sinica，1996，12(1):43-48．

［5］ George Grätzer． Lattice Theory［M］． W H Freeman and Company，1971．