钢筋混凝土三点弯曲梁断裂韧度计算模型

胡少伟，米正祥，范向前，陆 俊

(1.南京水利科学研究院材料结构研究所，南京 210029;2.河海大学力学与材料学院，南京 210024)

1 研究背景

自从1961年M.F.Kaplan首次将断裂力学概念应用于混凝土之后，很多学者对混凝土断裂性能进行了大量的试验研究工作，并取得了很大的进展［1－2］。学者们提出了很多断裂模型，如瑞典Lund大学Hillerborg等［3］提出了虚拟裂缝模型，美国学者Bazant等［4］提出了钝裂缝带模型，虽然这2种模型能够反映混凝土的断裂特性，但是需要借助有限元模型，计算过程很复杂。Karilialoo和 Nalllathambi等［5］提出了等效裂缝模型，Bazant［6］根据弹性等效方法提出了尺寸效应模型。Jenq和Shall［7］提出了双参数断裂模型，我国学者徐世烺教授提出了双K断裂模型［8］，这2种模型物理意义明确，便于理解，但是需要通过试验测得最大荷载Pmax与临界裂缝口张开位移CMODc。为此，吴智敏等［9］基于虚拟裂缝模型，给出了混凝土三点弯曲梁断裂韧度解析模型，该方法不需要试验，就可以计算失稳断裂韧度，但计算式子非常复杂。

以上模型都是针对混凝土试件展开研究，但是含裂纹的钢筋混凝土试件的断裂性能的研究少之又少，而且不够深入，因此非常有必要对此进行进一步的研究。鉴于此，本文基于吴智敏等［9］的混凝土解析方法，给出了钢筋混凝土试件断裂韧度的解析表达式;然后，通过试验数据验证了该计算式子的准确性，发现试验数据与理论计算值吻合较好。

2 计算模型

2.1 双线性软化本构关系

混凝土软化本构关系是采用虚拟裂缝模型计算的基础，学者们提出了不同形式的混凝土软化本构关系(σ－ω软化曲线)，包括线性的和非线性的。其中，非线性的本构关系形式复杂，计算繁琐，故在实际工程中应用不多;而线性本构关系由于形式简单，计算方便，而且精度也有较高的保证，因此在工程中得到了比较广泛的应用［2］。在考虑了准确性和简便性之后，本文采用双线性软化本构关系来研究钢筋混凝土试件的断裂韧度。该软化关系的表达式为

式中:ω为裂缝张开宽度;σ为虚拟裂缝面上的黏聚力;fr为混凝土抗拉强度;ω0为黏聚力为零处的裂缝张开宽度;ωs与σs分别为双线性软化曲线转折点一处的裂缝张开宽度与黏聚力。

显然ωs，σs，ω0为双线性软化本构关系的3个控制参数，从不同的角度考虑问题有不同的取法。本文采用欧洲混凝土模式规范CEB-FIP Model Code 1990 建议的公式(2)来计算参数 ωs，σs，ω0的值［10］，即

式中:混凝土弯曲抗拉强度［11］49.25/h)，fc为圆柱体抗压强度;αF为与骨料最大粒径dmax有关的参数;GF按照公式(3)确定［12］，其中fc0=10 MPa。

2.2 计算方法的基本假定

钢筋混凝土三点弯曲梁在极限失稳状态下，其开裂截面的力学分析是在以下几个基本假定的基础上进行的:①截面在变形后未开裂部分仍保持平面;②混凝土一旦出现宏观裂缝，则其不承受拉应力;③假定混凝土与钢筋之间完全粘结，不考虑它们之间的相对滑动;④裂缝张开位移沿梁的高度呈线性分布;⑤混凝土未开裂部分仍处于线弹性阶段，虚拟裂缝区黏聚力的分布符合线性软化本构关系;⑥混凝土的抗拉弹性模量Et等于抗压弹性模量E;⑦结构发生失稳破坏时纵向受力钢筋已经屈服。

2.3 理论推导过程

三点弯曲试件截面应力与应变分布分别如图1与图2所示，根据假定式(4)可知，任意位置x处的裂缝张开位移为

式中:ωt为初始裂缝尖端张口位移，hc为中性轴至虚拟裂缝尖端的距离，a为有效裂缝长度，a0为初始缝长。

图1 截面应力分布Fig.1 Stress distribution in the crack section

根据假定式(1)、式(5)、式(6)可知:

图2 截面应变分布Fig.2 Strain distribution in the crack section

式中:fr为混凝土弯曲抗拉强度;σc为压应力。

对于标准三点弯曲梁，Tada等给出裂缝口张开位移CMOD与荷载P之间有如下关系式为

式中:B为矩形截面宽度;h为梁的高度;E为混凝土弹性模量。

根据本文假定式(4)有

令 β =a/h，β'=hc/h，β″=ωt/ωs，γc=c/h，γ0=a0/h，然后将式(7)代入式(6)进行变形后得

式中:P为荷载;c为钢筋中心至下边缘距离。

由开裂截面水平方向力的平衡可以得到

式中:As为纵向受力筋横截面面积;fy为钢筋屈服强度;σw为拉应力。

将式(1)、式(4)、式(5)代入式(9)积分，并整理后得

由开裂截面力矩平衡可得

式中:M为弯矩;σc为压应力;c为钢筋中心至下边缘的距离。

将式(1)、式(4)、式(5)代入式(10)并积分得

三点弯曲梁跨中截面弯矩M为

将式(8)与式(13)代入式(12)整理化简后得

式中:mg为试件自重。

式(8)、式(10)与式(14)是钢筋混凝土试件在三点弯曲作用下得到的3个独立方程，它们分别对应于开裂截面的几何方程、力平衡方程与力矩平衡方程，这3个方程是采用式(15)计算断裂韧度的基础。

对标准三点弯曲梁而言，失稳断裂韧度的计算表达式为［13］

式中:

βc=ac/h，ac为临界有效裂缝长度;Pmax为最大荷载;为失稳断裂韧度。

从式(15)可知，要计算钢筋混凝土试件的失稳断裂韧度，首先必须确定最大荷载Pmax与相对临界有效裂缝长度βc=ac/h。由于荷载满足几何方程式(8)，则最大荷载的解答变为，求解式(8)在满足约束条件式(10)与式(14)下的最大值，故构造拉格朗日函数

式中:λ1，λ2分别是T1，T2对应的拉格朗日乘数。

3 试验验证

3.1 试验概况

本文采用带预制缝的三点弯曲梁进行钢筋混凝土断裂参数的研究，本次试验的钢筋混凝土梁分为4组，每一组浇筑4个试件。试件的长、高、宽分别为1 000，200，120 mm，梁的跨度为 800 mm，钢筋保护层厚度为25 mm。混凝土采用南京宏洋雨花混凝土有限公司生产的商品混凝土，配合比为胶凝材料∶砂子∶石子∶水 =1∶1.03∶1.94∶0.31;其中，胶凝材料的比例为水泥∶粉煤灰∶矿渣粉 =0.84∶0.08∶0.08。水泥采用P52.5普通硅酸盐水泥;粉煤灰为Ⅰ级灰;矿渣粉级别为S95;砂子为天然中砂;石子最大粒径为31.5 mm。试验时测得混凝土立方体抗压强度为69.2 MPa，标准差为0.68 MPa，弹性模量为35.25 GPa;钢筋采用直径为8 mm的光圆热轧钢筋HPB235，试验时测得钢筋屈服强度fy为235 MPa，弹性模量 Es为2.06 ×105MPa。

本次试验所有试件均在5 000 kN压力试验机上进行。裂缝口张口位移由美国Epsilon公司生产的夹式引伸计测量，变形测量范围为 +4～－1.0 mm，测量精度可达到0.000 2 mm。荷载、张口位移、加载点挠度以及各测点的应变均由动态应变采集系统采集，采集频率为20 Hz。

3.2 结果与分析

根据试验实测的各个试件最大荷载Pmax、临界裂缝口张口位移CMODc、计算弹性模量E等参数即可计算出钢筋混凝土的相对临界有效裂缝长度βc、失稳断裂韧度KsIc以及临界裂缝尖端张开位移CTODc等值，具体结果见表1。由表1可以看出，钢筋混凝土试件的最大荷载在7.741～8.867 kN之间，随着初始缝高比α0的增大而减小;而失稳断裂韧度在2.168 ～2.548 MPa·m1/2之间，随着 α0的不同，该值存在一定的离散性，但是其离散程度很小，可以认为失稳断裂韧度值与试件的α0无关，可以作为钢筋混凝土的材料常数，用于裂缝扩展状态的判断。

表1 钢筋混凝土梁断裂参数试验结果Table 1 Test results of fracture parameters of reinforced concrete beams

根据上文的计算思路，采用matlab软件对初始缝高比 α0分别为0.2，0.3，0.4，0.5的钢筋混凝土梁进行数值计算，得到了不同α0下试件的最大荷载Pmax，相对临界有效裂缝长度βc，将计算所得的值代入式(15)，得到失稳断裂韧度KsIc，现将计算结果列于表2中。便于对2种方法所得结果进行对比，将计算所得的Pmax，βc以及KsIc与试验数据的平均值进行误差计算(误差(%)=(计算值－试验值)/试验值×100))，计算结果如表2所示。

由表2可知，利用本文所建模型计算所得的最大荷载Pmax和相对临界有效裂缝长度βc与试验值相比，最大误差分别为2.471%和2.618%，而失稳断裂韧度KsIc与试验值相比，误差相对大一点，最大值为4.915%，这主要是误差积累的原因。同时，我们也可以从表2可以看出，最大荷载与失稳断裂韧度分别在7.472 ～9.068 kN 与2.232 ～2.673 MPa·m1/2之间，计算值偏大于试验值。

4 结论

本文基于虚拟裂缝模型，针对钢筋混凝土试件在三点弯曲作用下开裂截面的受力特征，在合理假定的前提下，提出了一种计算钢筋混凝土三点弯曲梁失稳断裂韧度的解析方法。这种方法只需要知道钢筋混凝土试件的混凝土弹性模量E，混凝土弯曲抗拉强度fr和配筋量As等材料基本参数，同时，考虑虚拟裂缝面上黏聚力的分布形式，就可以计算出三点弯曲试件所能承受的最大荷载和临界有效裂缝长度，进而求得失稳断裂韧度，而不需要进行断裂试验。然后，应用该方法计算了分别为0.2，0.3，0.4，0.5的标准试件的最大荷载、临界有效裂缝长度和失稳断裂韧度，结果表明钢筋混凝土的失稳断裂韧度基本上不随α0变化，可以作为材料常数，用于裂缝扩展状态的判断;并将计算结果与试验数据的平均值进行了误差分析，发现最大误差为4.915%，说明两者吻合较好。

表2 试验结果与计算结果对照表Table 2 Comparison of test results and calculation results

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［8］徐世烺，赵国藩.混凝土结构裂缝扩展的双K断裂准则［J］.土木工程学报，1992，25(2):32 － 38.(XU Shi-lang，ZHAO Guo-fan.A Double-K Fracture Criterion for the Crack Propagation in Concrete Structures［J］.China Civil Engineering Journal，1992，25(2):32 －38.(in Chinese))

［9］吴智敏，杨树桐，郑建军.混凝土等效断裂韧度的解析方法及其尺寸效应［J］.水利学报，2006，37(7):795 －800.(WU Zhi-ming，YANG Shu-tong，ZHENG Jianjun.Analytical Method for Predicting Effective Fracture Toughness of Concrete and Its Size Effect［J］.Journal of Hydraulic Engineering，2006，37(7):795 － 800.(in Chinese))

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［12］REINHARDT H W，XU Shi-lang.Crack Extension Resistance Based on Cohesive Force in Concrete［J］.Engineering Fracture Mechanics，1999，64:563 －587.

［13］TADA H，PARIS P C，IRWIN G R.The Stress Analysis of Cracks Handbook［M］.St.Louis:Paris Productions Incorporated，1985.