基于德鲁克－普拉格准则的围岩损伤区渗透系数研究

孙珍平，高召宁，孟祥瑞

(安徽理工大学能源与安全学院，安徽淮南 232001)

1 研究背景

岩土体作为一种天然地质材料，其内部赋存着大量的裂隙、孔隙、节理、层理等构造［1］，这些缺陷的存在不但改变了岩土体的力学特性，而且还严重影响着岩土体的渗透特性。渗透系数是指水力坡度为1时的渗透速度，又称水力传导度，是岩土透水性强弱的数量指标和表征岩土体介质渗透性能的重要指标，也是重要的岩体水力学参数之一。大多数经典的渗流理论中，认为渗透系数是一个材料常数。但实际上由于淘刷、侵蚀、冲刷等原因，渗透系数是随时间和坐标变化的，同时又与孔隙水压力等因素有关。关于渗透系数，国内学者做了大量的研究［2－9］，并取得了很多重要的成果，但是这些研究大部分都是在试验的基础上得到的，本文利用损伤力学，考虑中间主应力和损伤因子等影响因素，运用德鲁克－普拉格准则导出圆形巷道塑性区应力的解析解，基于此，求得渗透系数的表达式，并对孔隙水压力和围岩塑性区域半径与渗透系数之间的关系进行了研究。

2 德鲁克－普拉格准则

德鲁克－普拉格准则，简称D-P准则，1952年，D.C.Drucker和W.Prager在von Misses强度准则的基础上考虑了静水压力而推广提出，D-P准则在岩土工程领域应用广泛，D-P准则的屈服函数F可以表示为

式中:σ =(σxxσyyσzzσxyσxzσyz)T表示岩石的应力向量;β和M是与岩石材料物理性质有关的常数，C和φ为围岩的黏聚力和内摩擦角;I1为第一应力不变量，I2为第二偏应力不变量，即

由于本文所讨论的是轴对称条件下的围岩应力分布情况，所以，压力不变量I1和I2为

式(1)表示的屈服面在主应力空间是一个正圆锥，若不考虑屈服面的硬化，当F(σ)≤0时，表示岩石屈服失效，若β=0，则(1)式可退化为von Misses屈服准则。

3 岩石材料的损伤本构模型

岩体内部存在微裂纹，其发生、扩展、并合，决定了岩石材料的宏观力学性能。因此巷道围岩应力场的计算应该考虑岩石材料的损伤特性。如图1所示，巷道半径为r0，地应力为γH，支护反力为 P0，塑性损伤区半径为r1。

假设巷道岩石材料为均质的和各向同性。弹性模量为E，泊松比为μ。采用Bui弹塑性损伤模型［10］，单轴压缩下其应力－应变曲线可简化为双线性。如图2所示，OA段为弹性阶段，忽略峰值强度前岩石的初始损伤;AB段为塑性损伤软化阶段，超过峰值强度后为线性各向同性损伤演化。岩石峰值强度和对应的应变分别为σc和 εc，降模量为 λ 。

一维损伤演化方程为

在三维损伤的情况下，设主应变 ε1，ε2，ε3，则等效应变为

用等效应变εi代替单轴情况下的应变ε，从而能够得到三维情况下的损伤演化方程，即

式中:λ为降模量;E为弹性模量;εc为最大弹性应变;εi为等效应变。

图1 巷道围岩力学模型Fig.1 Mechanical model of the roadway’s surrounding rock

图2 岩石材料的应力－应变曲线Fig.2 Stress-strain curve of the rock material

4 巷道围岩塑性区应力分布

基本假设:①岩体是连续、均质和各向同性的弹塑性材料;②围岩屈服前变形是微小的;③忽略自重对屈服的影响;④巷道为圆形，且侧压系数为1。因而该问题可以简化为轴对称下的平面应变圆孔问题，其力学模型如前述图1所示。

在巷道开挖过程中，原岩应力会重新分布，巷道边缘会出现集中应力，当集中应力大于岩体的抗压强度时，边缘附近的岩体会遭到不同程度的破坏，使得向深部转移，只有当岩体承载能力与支承压力达到平衡时，围岩处于稳定状态［11－13］。

塑性区的平衡条件:

由于此力学模型为轴对称模型，所以在极坐标平面应力分量仅为r的函数，不随θ而变，其切应力为零。因此得到的微分方程为

按照岩土塑性力学推导德鲁克－普拉格准则时对应力符号的规定，即拉应力为正，压应力为负，由此可写出作用在单元体上的最大和最小主应力，即 σ1= － σr，σ3= － σθ。

由于中间主应力发生在沿巷道的纵向，所以可以求得中间主应力，将 σ1，σ2，σ3代入 I1(σ)，I2(σ)中，得到:。联立式(1)，可以得到

假设围岩为各向同性损伤，则

D为损伤参数，可根据式(5)得出。

将式(10)代入式(9)得

假设巷道围岩塑性损伤区的岩石骨架具有不可压缩性，以及弹性区和塑性损伤区交界处的应变边界条件，并由式(4)和式(7)可得出等效应变 εi［14］为

联立式(5)和式(12)可得

将式(11)代入式(8)可得

将式(13)代入式(14)，结合边界条件σr(r0)=P0，得出塑性损伤区的应力［15－17］为

5 渗透系数的计算

渗透系数的定义是从渗流的Darcy定律中得出的，在以往计算渗透系数时，大部分采用路易斯(Louis，1974)［9］在试验的基础上提出来的计算公式，即

式中:K0为初始渗透系数;α为系数;σ为有效应力。

但是由于该公式中存在着2点不足，第1，它表示一维应力状态;第2，该有效应力仅适用于土体一类的多孔介质材料。另外该公式是通过大规模的工业性试验给出的，对于具体的岩层，其系数难于确定。所以，本文中我们采用赵阳升［8］提出的渗透系数计算公式

式中:a，b，c均为拟合常数;K为渗透系数(cm/s);p为孔隙水压力(MPa);Θ=σ1+σ2+σ3为体积应力(MPa)。

赵阳升公式反映了岩体介质的孔隙、裂隙流，同时还反映了外力对渗透性的影响，并且克服了Louis公式的2个缺点。

由于塑性区既是巷道围岩稳定的关键区域，也是巷道支护设计的理论基础。所以将塑性区应力作为研究围岩渗透系数的体积应力，即

将式(15)、式(18)代入式(17)中得

6 算例分析

具体参数取值如下［7－8］:巷道半径 r0=2 m，支护反力P0=1 MPa，距巷道中心的距离r2=3 m，弹性模量E=750 MPa，降模量λ=1 500 MPa，拟合常数 a=1.942 6，b=0.199 0，c=0.550 8，岩石材料的内摩擦角 φ =30°，黏聚力 C=5.74 MPa，从而可得出 β =0.160 1，M=4.776。

将上述参数代入式(19)可得

图3 塑性区域r与渗透系数K的关系Fig.3 Relationship between permeability coefficient K and radius r of plastic area

图4 孔隙水压力p与渗透系数K的关系Fig.4 Relationship between pore water pressure p and permeability coefficient K

由上式可以给出孔隙水压力 p=1，2，3，4 MPa的情况下，渗透系数K与r之间的关系(如图3所示)。图4 给出了 r=2.0，2.3，2.5，2.8，3.0 m 的情况下，渗透系数K与孔隙水压力p之间的关系。

从图3中可以看出，在损伤区域范围内，渗透系数K随着r的变化呈现非线性变化，距离巷道中心越远，渗透系数越小;当r约等于2.4 m时，渗透系数K的值发生突变，从无穷大突变到接近于0，表明r约等于2.4 m为塑性损伤区的半径，这与文献［7］和［13］中的塑性区范围相吻合。

从图4可以看出，渗透系数K随着孔隙水压力p的变化呈现指数变化，其随着p的增加，渗透系数不断地增加，且增加的幅度很大。综合图3和图4可以看出r在塑性区范围时，渗透系数K变化显著，在距巷道中心r=2 m和r=3 m，保持孔隙水压力不变，其渗透系数变化极大，甚至达到相差好几个数量级。

7 结语

(1)基于德鲁克－普拉格(Drucker-Prager)准则，应用弹塑性损伤力学理论，考虑中间主应力作用，建立了弹塑性力学模型，推导出了深埋圆形巷道围岩塑性损伤区应力场。

(2)在得出塑性损伤区应力场的基础上，给出了渗透系数的计算式，并通过具体算例分析了在损伤区域范围内，渗透系数K与孔隙水压力p和距巷道中心距离r之间的关系。

(3)通过对圆形巷道围岩损伤区渗透系数的研究，可为巷道在渗流作用下变形破坏计算及稳定性分析提供理论依据。

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