水平受荷单桩计算的半经验弹塑性解析解

黄朝煊

(浙江省水利水电勘测设计院，杭州 310002)

式中桩的特征值:

水平受荷单桩变形计算的地基反力法主要有:常数法［1］、桩基规范推荐的经典 m 法［2］、龚晓南等［3］基于幂函数反力提出的弹塑性数值分析法、Matlock 等［4］等提出的 p－y曲线法以及吴恒立［5］提出的双参数法等，均应用于水平荷载桩的工程设计与计算中。由Matlock等提出p－y曲线法认为土反力与水平位移之间呈明显的非线性关系，尤其当土体进入塑性流动状态时，土反力达到极限值并不再随水平位移的增加而发生变化。龚晓南等基于Hsiung［6］等理论进行了修正补充，考虑了顶层土的地基反力影响，并给出离散数值解。双参数法比常数法和m法更能反映实际情况，但该法不仅未考虑地表处土反力的影响，且计算同样复杂，只能用数值方法求解。以上方法除常数法外均无法得到解析解，如何寻找既考虑土体塑性屈服影响、又便于工程师手算且计算成果也比较接近于实测值的方法，基于此本文对经典m法进行弹塑性修正分析。

1 基于数学拟合简化法下的经典m法

1.1 对半刚性桩的经典m法求解参数的数学拟合简化

由于经典的m法求解中基本参数需要通过查表法选取，经常需要进行直线内插或平面内插法，计算过程较繁琐，基于此，本文采用“CurveExpert 1.3”软件对其中主要参数进行了数学拟合分析，该软件能自动在几十种不同类型函数(有理函数、幂函数、指数函数等)中选取相关系数最大的最优拟合函数(当然还有考虑到函数表达式的简洁实用)，得到高精度的数学拟合计算公式。

桩身弹性区的平衡微分方程为

式中:EI为桩的抗弯刚度;y为桩身水平位移。依据经典m法，地基反力系数取线性函数为k=mx。其中边界条件即弯矩协调、剪力协调等，文献［1－2］给出了查表计算法。

依据经典m法，半刚性桩(换算桩长αh＞2.5，Kh=0)的桩顶水平位移与转角为分别为桩顶水平剪力和弯矩;无量纲参数 Af，Bf，Cf是换算桩长=αh∈(2.5，4)(入土)的函数，由文献［1 －2］查表内插选取，本文通过CurveExpert拟合软件高精度拟合得到(相关系数＞0.99)，见图1。

式中桩的特征值:

值得指出的是，拟合区间越大，对工程应用越有利，但同时拟合精度便降低，综合考虑拟合区间与拟合精度之间的矛盾后，本文选取了常用桩范围内的区间进行了数值拟合处理。

图1 半刚性桩桩顶变化参数拟合Fig.1 Fitting results of dimensionless parameters of semi-rigid pile head variation

1.2 对柔性长桩桩身位移、弯矩的简化计算

依据经典m法理论，地面以下任意一深度桩x处的桩身的位移与应力为

式中H0，M0分别为桩顶水平剪力和弯矩;对于柔性长桩(αh ＞4)，可根据查文献［1－2］得，当换算桩深范围αx∈(0，2)时，通过拟合软件拟合规范数据，见图2。

图2 柔性长桩桩身变位、内力参数拟合Fig.2 Fitting results of dimensionless parameters of pile deflection and internal forces of long flexible pile

后文计算塑性区深度时需用到桩身位移拟合公式;取换算桩深αx=0，即得柔性长桩的桩顶水平位移、转角为:

同样，通过软件拟合得桩身弯矩最大处的无量纲深度为

相应桩身最大弯矩为

当桩顶水平位移小于土体的屈服位移y*时，则可采用经典m法弹性理论分析，即满足条件

依据无量纲公式(4)得柔性长桩桩身位移、弯矩随深度、相对荷载量之间的关系曲面见图3。

图3 柔性长桩(αh ＞4)桩身位移、弯矩随深度与相对偏心距的变化关系Fig.3 Variations of pile displacement and bending moment with depth and relative eccentricity for long flexible pile(αh ＞4)

由图3可知，桩顶水平位移随桩顶荷载的增加而线性增加，桩身水平位移随深度的增加而快速减小，当换算桩深αh=2时，桩身的位移仍小于桩顶水平位移的5%。桩深最大弯矩随桩顶荷载的增加而线性增加，并且桩身最大弯矩位置随桩顶弯矩荷载的增加而向桩顶近似线性关系移动。

1.3 算例验证

例1:为了验证本文简化拟合理论的正确性，取文献［1］中的例题(p202):某C20砼灌注桩单桩直径Φ=1.0 m，入土深度为10 m，露出地面长度为0，作用于桩顶的水平力H0=80 kN，弯矩M0=150 kN·m，桩侧地基土的水平反力系数的比例系数m=2×104kN/m4，试计算桩顶的位移、转角、桩身的最大弯矩。

依据桩的特性值 α =(mb0/EI)0.2=0.514 m－1，由于 αh=5.14 ＞4.0，该桩属柔性桩，可取 Kh=0，采用本文拟合公式计算成果见表1。

通过算例1计算比较分析，可知本文拟合简化法精度高，完全满足工程实践要求，且该拟合简化法方便快捷，便于工程应用。

2 对柔性长桩经典m法的修正

龚晓南等［3］给出了土体水平受荷下的弹塑性屈服模型见图4，在塑性阶段土体的反力为常数，Hsiung［6］建议黏土的屈服位移取

式中 εc为应变，可根据土的状态取值，一般为0.005 ～0.02。

由于受较大水平荷载的单桩桩顶层土会出现塑性屈服变形，若仍采用经典m法计算，则桩顶水平位移明显偏小。本文首先以经典m法近似求得桩身位移等于土体屈服位移的临界深度，并近似认为该临界深度范围内的土体发生塑性屈服变形，即土体的屈服反力为my*，小于依据弹性理论选取的水平反力，因此，若仍只依据经典弹性理论势必过高估计表层屈服区土体的水平反力，而导致桩顶水平位移偏小，必须对其进行补偿修正，即在屈服区补偿与水平位移同向的假想力p=k(y－y*)(即依据全弹性理论计算位移时相应地基水平反力与塑性极限反力之差称为假想反力)，见本文图4所示。

图4 土层水平反力塑性屈服模型Fig.4 Plastic yield model of horizontal reaction force

2.1 塑性区深度计算

对于柔性长桩，其桩身的位移、弯矩等可采用本文公式(4)计算，弹塑性分界区深度满足屈服位移条件

解得桩体弹塑性边界无量纲深度

2.2 考虑塑性屈服区影响的桩顶变位计算

由求解思路图(5)、图(6)，根据结构力学方法梁的变位计算公式及平衡微分方程(1)，得塑性区影响下的附加位移、转角为

图5 桩顶顶层土塑性区示意图Fig.5 Plastic zone in the soil at pile head

表1 本文数学拟合简化法与经典查表法成果对比Table 1 Comparison of results from the simplified fitting method in this research and the traditional method of looking up tables

图6 塑性屈服区影响的附加变形计算示意图Fig.6 Schematic of the calculation of additional deformation in consideration of plastic zone effect

其中下标“1”表示等效后的上部“悬臂梁”，下标“2”表示等效后的下部“悬臂梁”。

将经典弹性理论解与塑性附加变形解叠加，得桩顶的水平位移、转角为:

式中:

(参数 hp，a0，a1，a2见公式(12));

考虑到下部塑性区的扩展，本次计算取无量纲延展长度 LΔ，其中可设 LΔ=(3.5 － αhp)，即以桩的第一个位移为0的点为基准。

值得指出的，本文半经验弹塑性解析法仅适用于计算桩身变位，对于桩身内力计算值得进一步讨论。

2.3 算例分析

例2:验证本文弹塑性解析解的正确性。Mohan等［6］于1971年报道了一系列水平荷载桩的现场试验的结果，其中﹟ IN1桩［6］为钢管桩，入土深度为5.25 m，直径为10 cm，抗弯刚度 EI=313.6 kN·m2，桩顶和桩底的约束条件均为自由。桩周土的特性:0～3.3 m为砂土，相对密实度为75%，孔隙比为48%，密度为2.05 g/cm3;3.3 ～6.0 m为黏土，液限为48%，塑限为27%，塑性指数为21%。土层的反力系数k=m(z0+x)n，土的地基反力参数取值m=3.85×104kN/m4;土的屈服位移y*=3.75 mm。水平力H0=4.7 kN，力矩 M0=0 kN·m。

本文通过对有效桩长 (4/α)内的反力系数进行线性拟合，转化为直线反力法分析，并利用本文半经验弹塑性解析解理论计算分析，计算成果见表2。

通过算例比较分析知，与经典m法理论解相比，本文弹塑性理论解与实测数据基本一致，但仍稍偏小，基本满足工程实践要求。

3 结语

本文基于数值拟合理论及高效拟合软件对经典m法进行了数学简化分析，在考虑塑性区对水平位移的影响下，对水平荷载单桩水平位移进行了深入研究分析，主要得出以下结论:

(1)基于高效数值拟合软件对经典m法(其中αh ＞2.5，Kh=0)中需查表内插选取的计算参数进行了高精度数值拟合，给出了桩顶水平位移、转角的高精度拟合函数简洁计算公式。

(2)对经典柔性长桩(αh ＞4，Kh=0)桩身位移、弯矩无量纲系数进行了高精度拟合，给出了桩顶水平位移、转角、桩身最大弯矩及最大弯矩深度等的高精度拟合函数简洁计算公式，并通过工程算例计算比较分析，认为本文的拟合弹性解析解精度高、方法可靠。

表2 半经验弹塑性解析解与弹塑性数值分析法成果对比Table 2 Comparison of results from the semi-empirical elastic-plastic analytical solution and the elastic-plastic numerical analysis method

(3)对经典柔性长桩(αh＞4，Kh=0)桩身的水平位移、桩身弯矩无量纲化，给出了桩身位移、弯矩随深度、水平无量纲荷载之间的关系式，并给出了曲面关系图，得出:桩顶水平位移随桩顶荷载的增加而线性增加，桩身水平位移随深度的增加而快速减小;桩深最大弯矩随桩顶荷载的增加而线性增加，并且桩身最大弯矩位置随桩顶弯矩荷载的增加而向桩顶近似线性关系移动。

(4)基于土体水平屈服的理想弹塑性模型，通过推理计算给出了考虑桩顶塑性屈服区影响下的桩顶变位半经验弹塑性解析解，最后通过算例计算比较分析，认为本文弹塑性理论解与实测数据基本一致，但仍稍偏小，基本满足工程实践要求。

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