p维TVPAR模型中参数的极大似然估计

施三支,闫 丽,王泽升

(1.长春理工大学 理学院,长春 130022;2.吉林大学 数学学院,长春 130012)

时间序列模型,特别是随时间变化参数的向量自回归(TVP-VAR)模型,在经济、金融等领域应用广泛[1-4].对随时间变化参数的自回归模型(TVPAR模型),目前采用的普遍方法是将所有的参数(包括随机误差)都视为随机游动过程.由于随机游动过程是非平稳的,因此,当随机误差被视为随机游动过程在分析金融数据的长期变化时是不可靠的.文献[5-6]用Markov链Monte Carlo(MCMC)方法讨论了TVP-VAR模型中随机误差不变的情形.本文主要考虑p维TVPAR模型,当变系数仍为系数已知的时间序列,而方差为同方差,且与p维时间序列模型的误差方差均为已知时,采用极大似然估计方法,对p维TVPAR模型中的未知参数进行估计,给出了估计的显式表达式,并进行了模拟计算.

p维TVPAR模型具有如下形式：

(1)

这里{xt,t=1,2,…,n}为可观察数据.本文要求模型满足下列条件：

2)βi,ui是系数参数,且-1<βi<1(i=1,2,…,p)未知,-1

3)βt,i(i=1,2,…,p;t=1,2,…,n)为不可观测数据;βt,1,βt,2,…,βt,p不相关；

4)β0,i=0(i=1,2,…,p);x0=0.

1 模型的极大似然估计

由模型(1)知:

记β=(β1,β2,…,βp)T,u=(u1,u2,…,up)T.由假设条件1)知

即有

(2)

根据式(2)知,似然函数为

(3)

用类似的方法可以讨论模型(1)的平稳性：记Xt=(xt,xt-1,…,xt-p+1)T,Xt是p×1维随机向量.记Bt=(βt,1,βt,2,…,βt,p),则Bt为1×p维AR(1)过程,Bt各元素之间相互独立.记U=diag(u1,u2,…,up),ηt=(ηt,1,ηt,2,…,ηt,p),将模型(1)改写为如下形式:

Xt=(M+Dt)Xt-1+εt,Dt=Dt-1U+μt,

(4)

2 模拟计算

表1 λ=0.1时不同p值下参数β的真值与估计值的比较Table 1 True values and estimated values of β under different p when λ=0.1

表2 λ=0.01时不同p值下参数β的真值与估计值的比较Table 2 True values and estimated values of β under diffrent p when λ=0.01

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(责任编辑：赵立芹)

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