一 类 发 展 包 含 的 端 点 问 题

王俊彦,程 毅,孙佳慧

(1.长春工业大学人文信息学院 数学教研部,长春 130122;2.渤海大学 数学系,辽宁 锦州 121013;3.空军航空大学 基础部,长春 130022)

近年来,关于发展方程及包含反周期问题的研究已有许多结果[1-6].文献[7]在集值函数取非凸值的情况下,给出了发展包含解的存在性.本文在文献[7]假设条件的基础上,研究反周期发展包含端点解的存在性.

设H是可分的Hilbert空间,V是H的稠子集,具有自反可分的Banach空间结构,且连续地紧嵌入H.V等同于H及其对偶,因此有V→H→V*,其中所有嵌入都是连续和稠密的.设I=[0,T]是一个闭区间,X表示Lp(I,V),X*表示Lq(I,V*),其中p>1且1/p+1/q=1.‖·‖X表示X中的范数,(·,·)表示空间H的内积,〈·,·〉表示(V,V*)中的对偶对,〈〈·,·〉〉表示(X,X*)中的对偶对,Pk(R)表示实数集所有非空紧子集的全体.

设T=[0,b],考虑如下发展包含的反周期边值问题：

(1)

其中:A:T×V→V*是一个非线性半连续算子;B:V→V*是一个有界线性自伴算子,D(B)紧嵌入H;extG(t,x)表示集值映射G:T×H→2V*{Ø}的端点集.

假设：

(H2) 对于每个t∈T,A(t):V→V*一致单调且半连续,即存在一个常数C1≥0,使得对于所有的x1,x2∈V,有

‖A(t,x)‖V*≤a(t)+C2‖x‖V, a.e.T；

不失一般性,对于所有的t∈T,假设A(t,0)=0.为研究问题(1)的端点解,本文在文献[7]假设条件的基础上,进一步加强了集值函数G(t,x)的连续性.不仅要求G(t,x)上半连续,还要求G(t,x)是下半连续的.

再假设H(F)：G:T×H→Pkc(V*) 是一个集值映射,满足：

1) 对几乎所有的t×x∈T×V,(t,x)→G(t,x)是图像可测的；

2) 对几乎所有的t∈T,x→G(t,x)是连续的；

定理1若假设(H1)～(H4)和H(F)成立,则问题(1)存在解x∈Wpq(T).

证明:定义算子L(x)=x′+A(t,x)+Bx,则L:X→X*是一一映射[6],从而定义L-1:X*→X是存在的.

-x′+(A(t,xn)-A(t,x))=hn-h-(Bxn-Bx),

(2)

对式(2)取内积,再积分得

因xn(0)-x(0)=-xn(b)+x(b),则

根据假设(H2)和‖·‖H≤λ‖·‖V知,

因此,‖xn-x‖H→0,a.e于T.从而,存在常数η∈Tα(这里α的侧度为零),使得当n→∞时,‖xn(η)-x(η)‖H→0.于是

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(责任编辑：赵立芹)

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