单电子量子同心环的基态特性

林洽武,刘益民

(1. 广东第二师范学院 物理系,广州 510303;2. 韶关学院 物理系,广东 韶关 512005;3. 中国科学院 武汉物理与数学研究所,武汉 430071)

由于量子环具有Aharonov-Bohm (AB)效应和持续电流等纯量子效应,已引起人们广泛关注. Takaaki等[1]使用外延生长技术制备了高质量的量子环耦合体系;Kuroda和Lee等[2-3]分别制备了耦合量子环纳米结构;Szafran等[4-5]研究了包含1～3个电子平面同心量子环-量子环耦合体系(简称同心环环系)的磁场效应以及垂直量子环-量子环耦合体系(简称垂直环环系)的电子关联;Malet等[6]研究了同心环环系在磁场中的光响应;Climente等[7]用直接对角化方法研究了同心环环系的AB效应;文献[8-10]研究了同心环环系的电子有效质量、 基态和垂直环环系的光控制;文献[11-13]利用局域自旋密度泛函理论研究了同心环环系的电子结构、 磁光特性及垂直环环系的远红外光吸收谱;文献[14]分析了垂直环环系的量子隧道效应;Chen等[15]探讨了磁场中环环系的持续电流、 电导和态密度;刘益民等[16-17]研究了磁场中包含少量电子的单个量子环基态相图、 电子结构及AB 效应的对称性限制. 本文利用数学物理方法获得了人工控制单电子量子同心环基态的能级变化规律及电子几率分布,并对结果进行了分析.

1 理 论

在二维量子同心环势场内考虑单个电子,环的半径为R1

(1)

单电子量子同心环的波函数ψ(r,φ)满足Schrödinger方程

(2)

式中m*和E分别表示电子的有效质量和能量. 令ψ(r,φ)=R(r)φ(φ),则由式(2)得

(3)

(4)

由式(3)得

(5)

其中L=0,±1,±2,…为电子的角动量.

由式(1)和(4)可得R(r): 当0≤r

R(r)=A1JL(x1)+B1NL(x1),

1) 若E>V0,则

R(r)=[A2JL(x2)+B2NL(x2)],

2) 若E=V0,则

3) 若E

R(r)=A2IL(x2)+B2KL(x2),

当R3≤r

R(r)=A3JL(x3)+B3NL(x3),

其中:JL和NL分别为L阶Bessel函数和Neumann函数;IL和KL分别为L阶修正Bessel函数和Macdonale函数.

在r=R1,R2,R3,R4的势能分界线上,可得6个边界方程,从而求得单电子量子同心环的本征能E和本征波函数ψ(r,φ)=R(r)φ(φ).

2 结果与分析

对于GaAs量子同心环,式(2)的参数m*=0.067me(me为电子的质量). 不失一般性,在计算中任取V0=5 meV,R1=10 nm,R2=20 nm,R3=30 nm,R4=40 nm,简记(V0,R1,R2,R3,R4)=(5,10,20,30,40)(下同). 当单电子量子同心环的角动量L=0,1,2,3时,其能级如图1所示. 由图1可见,L=0时的最低2个能级比L=1,2,3时相应的最低2个能级低. 这是由于能量E随L的增加而增加所致. 比较各能级,其最小值为基态能量,相应的L为基态角动量. 故当(V0,R1,R2,R3,R4)=(5,10,20,30,40)时,单电子量子同心环的基态能量E0=8.64 meV,基态角动量L=0.

当(R1,R2,R3,R4)=(10,20,30,40)时,单电子量子同心环的基态能量E0随势垒V0的变化如图2所示. 由图2可见,E0随V0的增加而增加. 这是由于E随V的增加而增加所致. 在没有势垒(V0=0)时,电子的基态能量最小;存在势垒时,基态能量变大.

图1 L=0,1,2,3时单电子量子同心环 的最低2个能级Fig.1 The two lowest energies of single electron concentric quantum ring with L=0,1,2,3

图2 E0随V0的变化关系Fig.2 Evolution of E0 with variation of V0

在R1,R2,R3,R4中3个量固定,1个量变化的条件下,计算单电子量子同心环的基态能量E0,如图3 所示.

图3 基态能量E0随R1,R2,R3和R4的变化关系Fig.3 Evolution of ground-state energy E0 as a function of R1,R2,R3 or R4

由图3(A)可见,当(V0,R2,R3,R4)=(5,20,30,40)时,E0随R1的增加而增加. 由于R1增加导致量子同心环的径向宽度减小,从而电子径向位置的不确定度减少,动量的不确定度增大,因此E0增加. 同理可解释图3(D)中基态能量E0随R4的增加而减小.R4越大,量子同心环的径向宽度越大,从而E0变小. 由图3(A)和(D)可见: 当R1=1 nm时,E0=4.753 meV;当R4=55 nm时,E0=3.961 meV,均小于势垒V0=5 meV. 由图3(B)和(C)可见: 量子同心环的径向宽度不变,为R4-R1=30 nm;当R2增加时,势垒V0的宽度变小,E0减小;当R3增加时,势垒V0的宽度变大,E0增加. 势垒V0的宽度变小(或变大),引起电子的自由运动空间变大(或变小),由不确定关系可知,E0减小(或增加). 因此,势垒V0的高度和宽度均影响基态能量E0.

若单电子量子同心环的本征波函数ψ(r,φ)=R(r)φ(φ),则电子的几率为

图4 当V0=2.0,5.0,8.0 meV时基态 几率ρ随r的变化关系Fig.4 Evolution of ground-state ρ as a function of r for V0=2.0,5.0,8.0 meV

当(R1,R2,R3,R4)=(10,20,30,40),V0分别为2.0,5.0,8.0 meV时,单电子量子同心环基态几率ρ随r的变化关系如图4所示. 由图4可见: 在势垒V0区间(20～30 nm),电子的基态几率ρ较大,在势垒V0两侧的电子基态几率ρ较小;随着V0增加,势垒区间的电子基态几率ρ变小,两侧的电子基态几率ρ变大;3个电子基态几率ρ的最大值均约在r=24.8 nm处.

当(V0,R2,R3,R4)=(5,20,30,40),R1=1,11,19 nm 时,电子基态几率ρ随r的变化关系如图5所示. 由图5可见,随着R1增加,基态几率ρ的最大值沿r增大的方向移动,即ρ的最大值分别位于r=15.8,25.8,30.4 nm处. 当R1=1 nm时,基态E0=4.753 meV小于势垒V0=5 meV. 在这种情形下,由图5可知,电子在势垒区间(20～30 nm)的基态几率ρ不为零. 当R4增加时,基态几率ρ的特征与R1增加时的情况类似:ρ的最大值沿r增大的方向移动;ρ在E0小于势垒V0的区间不为零.

当R2减少或R3增加时,势垒V0的宽度均变大. 因此,只计算R3不同时基态几率ρ随r的变化关系,如图6所示. 由图6可见: 当(V0,R1,R2,R4)=(5,10,20,40),R3由31 nm增至35 nm时,基态几率ρ的最大值沿r减少的方向移动;当R3由35 nm增至39 nm时,ρ与r的函数曲线基本不变. 表明在R3～R4间势阱较窄的条件下,势垒V0的宽度对电子几率分布影响较小.

图5 当R1=1,11,19 nm时基态 几率ρ随r的变化关系Fig.5 Evolution of ground-state ρ as a function of r for R1=1,11,19 nm

图6 当R3=31,35,39 nm时基态 几率ρ随r的变化关系Fig.6 Evolution of ground-state ρ as a function of r for R1=31,35,39 nm

综上所述,本文获得了单电子量子同心环的低态能级和基态能量随V0,R1,R2,R3,R4的变化关系,并计算了基态几率,由此可得电子分布信息. 由于势垒和环半径的影响较大,因此可作为控制量子同心环性质的工具.

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