二阶微分方程求解周期解的变分方法

贾秀利, 王振华, 关丽红

(1. 吉林工商学院 基础部, 长春 130062; 2. 吉林大学 数学研究所, 长春 130012; 3. 长春大学 理学院, 长春 130022)

0 引 言

目前, 关于微分方程周期解问题的研究已有许多结果[1-9]. 文献[10]通过发展变分理论中求解自由问题的技巧[11], 提出了等价变分方法, 并研究了如下二阶自治微分方程

y″-U(y)=0

(1)

和二阶非自治微分方程

y″-U(x,y)=0

(2)

的周期解问题. 其基本思想是: 先将方程(1)和(2)的周期解问题转化为等价变分问题, 然后通过寻找适当的变换求解等价变分问题, 从而得到原方程的周期解.

基于上述思想, 本文进一步考虑如下二阶微分方程的周期解:

(p(t)x′(t))′-f(t,x(t))=0,

其中:p(t)是连续可微且以T>0为周期的正函数;f(t,x)是连续函数且关于t以T为周期.

1 主要结果

考虑如下周期边值问题:

方程(3)的Lagrange函数:

记

Ω∶={x∈C2([0,T],R)|x(0)=x(T),x′(0)=x′(T)}.

由经典变分理论, 问题(3)-(4)是变分问题

(5)

满足的必要条件. 因此, 如果能够求解变分问题(5), 即可得到边值问题(3)-(4)的解.

任取关于t以T为周期的连续可微函数S: R×R → R, 定义新的被积函数

和作用泛函

则对任意x∈Ω, 有

从而变分问题(5)等价于变分问题:

(6)

变分问题(6)称为(5)的等价变分问题. 为了使等价变分问题(6)易于求解, 受Carathéodory方法[10-14]的启发, 下面将寻找S使得如下条件成立:

(H1) ∀(t,x,y)∈R×R×R,

(7)

(H2) ∀(t,x)∈R×R, 方程

(8)

有解y=y(t,x)满足y(t+T,x)=y(t,x).

引理1假设连续可微函数S关于t以T为周期, 并且满足条件(H1)和(H2). 记y=y(t,x)为方程(8)的解. 如果边值问题

有解x*(t), 则x*(t)是等价变分问题(6)的极小化子. 因此,x*(t)是边值问题(3)-(4)的解.

证明: 假设x*是边值问题(9)-(10)的解. 由式(7),(8), 有

因此, 对任意的x∈Ω,

结论得证.

(11)

且S是Hamilton-Jacobi方程

(12)

的解, 其中Hamilton函数H: R×R×R → R的隐式定义如下:

(13)

根据式(13), 有

进而, 式(12)有如下形式:

(14)

此外, 对于任意的(t,x)∈R×R,y→L(t,x,y)是一个凸函数. 如果S是Hamilton-Jacobi方程(14)的解并且y(t,x)满足式(11), 则(H1),(H2)成立. 基于上面的讨论和引理1, 有:

定理1假设函数S: R×R → R是Hamilton-Jacobi方程(14)的解, 函数y: R×R → R满足方程(11). 如果x*: (0,+∞) → R是边值问题

的解， 则x*(t)是等价变分问题(5)的极小化子. 因此x*(t)是边值问题(3)-(4)的解.

2 应用实例

为进一步阐明本文方法的有效性, 考虑如下形式的边值问题:

记

f(t,x)=(p(t)q(t))′xk+kp(t)q2(t)x2k-1.

则

因此, 相应的Lagrange函数为

根据前面的分析, 边值问题(15)-(16)是变分问题

(17)

的必要条件, 其中

Ω={x∈C2([0,T],R)|x(0)=x(T),x′(0)=x′(T)}.

因此, 通过求解变分问题(17), 即可得到边值问题(15)-(16)的解.

在此情形下, Hamilton-Jacobi方程(14)为

(18)

假设式(18)的解有如下形式:

S(t,x)=a0(t)+a1(t)x+…+a2k(t)x2k,

(19)

其中ai(t)(i=0,1,…,2k)是连续可微函数并且以T为周期. 则将式(19)代入式(18), 可得

进而由式(11), 有

为了得到边值问题(15)-(16)的解, 考虑如下一阶边值问题:

其解为

(20)

例1

例1中, 令

p(t)=sint,q(t)=cost,k=2,

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