密集模态量化判别准则的一种新方法*

刘 伟，于岩磊，高维成，李 惠

（1.哈尔滨工业大学航天科学与力学系 哈尔滨，150001） （2.哈尔滨工业大学土木工程学院 哈尔滨，150090）

引 言

在实际工程中，很多结构由于自身或外界因素作用的影响，其结构参数会发生小参数的摄动变化。例如，大型机械转子的小故障可视为原结构发生了小参数的修改，大跨斜拉结构中拉索振动对屋盖（或桥体）弹性支撑强弱的改变导致其刚度的实时变化等。研究变参数结构或具有密集模态特性结构的模态特性的传统方法是矩阵摄动分析法，其在灵敏度分析、模型动力修改和结构快速重分析和振动控制等领域中有着突出的优势，得到了国内外学者的研究和应用［1－3］。针对不同的结构模态特性，矩阵摄动法又有孤立值摄动法［4］、重值摄动法［5－6］、密集值摄动法［7－9］和复值摄动法［10］。应用矩阵摄动法时必须首先明确结构的模态分布特性，即孤立特征值，重特征值，密集特征值或复特征值中为何种情况。这其中一个很重要的概念就是密集模态的概念，究竟密集到什么程度的模态才算是密集模态组呢？数学上，对于不严格相等的数值均可视为孤立值，显然这样的概念区分在结构分析领域中是不允许的，并且孤立值摄动法在应用于密集模态时，由于特征组的病态性其结果会变得不准确［6］。重频模态的出现一般是由于结构（或局部）的对称性引起的，一旦结构物理参数发生了很小的变化，原结构有可能衍变为密集模态结构。这时对于如何判断和量化界定密集模态（或结构整体模态中的密集模态组）则显得相对困难一些，目前尚没有一个实用、有效的统一判别标准。

笔者首先分析和比较已有密集模态的判别方法各自适用范围及不足之处；然后，基于数学差分和标准方差的概念，提出一种新的密集模态的判别准则，给出了具体的理论推导［11］；最后，通过两个实际算例证实该方法可比较不同系统不同特征组的模态密集程度，适用范围较广，可为结构健康监测及振动控制领域提供前期理论支持。

1 已有密集模态的判别方法

针对两个相近模态密集性的判别，文献［12］最早提出了频率密集度的概念，定义密集度指数δ＝，认为δ值越小，λi与λi＋1越密集。该方法仅适合用来衡量两个相邻模态的密集性。对于特征组密集度的判别，王文亮等［13］提出一个密集度的概念，对特征组｛λ1，λ2，…，λm｝，用c＝表示该特征组的密集度，c值越小，认为该特征组越密集。对较长的特征组，尤其在特征组中特征值不是遵循从小到大排序的情况下，该方法由于无法有效反映特征组中的局部化信息而有可能失效。赵又群等［14］利用特征向量，将系统摄动前模态特征向量ui和系统摄动后模态特征向量uiT之间夹角变化定义为，用此指标来度量特征组间的密集性，认为当一组θi，θi＋1，…，θi＋p值相对于其他θj（j∉（i，i＋p））值显著较大时，θi，θi＋1，…，θi＋p所对应的特征向量组及特征值组即为密集模态组。需要注意的是，虽然该方法利用模态振型间的相似度相对于利用特征值指标判别的密集度更能体现不同模态系统间的密集属性，但由于应用该指标要计算振型向量，这会大大增加计算量，尤其对于自由度数量庞大的大型工程结构，其计算量是可想而知的。陈德成等［15］提出分散度的概念来判别模态的密集性，对特征组，定义分散度（其中：λa为频率组外与特征组平均值最接近的一个频率），并认为一组频率若为密集组，那么其分散度μ的值应该是一个小量。该方法实际上更适合于判别局部特征组的密集性，对于整体特征组的密集性判别，由于无法选取λa而失效。

2 密集模态频率差方的判别准则

针对密集模态判别法的缺点，基于数学差分和标准方差的概念，提出一种新的密集模态的判别准则［11］。对一特征值组｛λ1，λ2，…，λn｝，以特征值组中最大特征值为模对其进行无量纲化，用该无量纲化特征值组相邻两个特征值的差分组的标准方差γFDSD来判别该特征组的密集性，称之为频率差方因子（frequency difference and its standard deviation，简称FDSD），具体操作过程如下。

1）由原特征组｛λ1，λ2，…，λn｝n≥3得到无量纲化的新特征组

3）求差分后特征组的标准方差

对于n＝2的情况值的计算可直接退化为计算无量纲化后的特征频率组的方差，判别方法及量化标准与n≥3的情况相同。

图1 六自由度振动系统模型

3 算例验证

3.1 算例1

取文献［6］例4.1的六自由度振动系统，如图1所示。系统初始参数为：m1＝200kg，m2＝300kg，m3＝50kg，m4＝20kg，m5＝20kg，m6＝20.004kg，k1＝500N／m，k2＝1kN／m，k3＝200 N／m，k4＝k5＝k6＝5kN／m。计算得到6个系统初始固有特征值为：λ1＝0.594 855，λ2＝2.478 725，λ3＝10.234 656，λ4＝249.966 672，λ5＝250.000 000，λ6＝552.175 102。分别选取文献［12］、文献［13］和文献［15］的方法与本研究方法进行对比，计算结果如表1所示。可见：文献［12］仅适合用来衡量两个相邻模态的密集性；文献［15］仅适合判别局部特征组的密集性；文献［13］与本研究方法均适用于不同特征组，包括全部特征组及部分特征组；但对于全部6阶模态而言，不是密集特征组，本研究方法的结果相比于文献［13］更能说明问题。此时如果将λ6和λ2对调，文献［13］的方法将失效，指标数值较小（0.010 6），误认为是密集模态组，而本研究方法依然能有效进行判别，对调λ6和λ2之后的特征组的密集度较原特征组更差。如果取第3，4和5阶模态特征组或者第1，4和5阶模态特征组，都不算是密集特征组，文献［13］、文献［15］与本研究方法均可以识别出为非密集模态组；但由于文献［13］与文献［15］无法给出判别指标的上限，因此二者在判别特征组不密集到什么程度则没有本研究方法更能反映本质。如果分别取第3和4阶模态特征组、第1和4阶模态特征组和第1和6阶模态特征组，同样不算是密集特征组，表中所列4种方法均可以识别，其中文献［12］和本研究方法由于指标有上限，所以可以定量的评价3组特征组的非密集程度。如果取第4和5阶模态组成一个特征组，在取一位有效数位时，该特征组可视为重频特征值，所有方法均可识别出该特征组的高密集性，均能反映该特征组趋于重频特征组的特性。需要说明的是，由于图1中存在准局部对称性而导致了近似重频特征组的出现，如果m6取值与m4相同，则图1结构变为完全对称结构，即会出现重频特征值。可见，对于该非密集频率结构算例，本研究方法适用范围广，适用于全部特征值组、部分特征值组以及模态跃迁后的特征值组，且指标有上、下限，便于定量评价。

表1 特征组密集度不同判别方法对比

3.2 算例2

某大跨斜拉单层扇贝网壳结构，底部内、外半径分别为70m和80m，顶部内、外半径均为10m，凹脊线总高度为15m，扇形角度为0～900，环向凹凸间数为6个，径向网格数为10个，平面投影面积为4 400m2。索直径为40mm，索初始应变ε0＝0.1%，斜索初始张拉力T0＝EAε0＝238.75kN，共21根。塔柱钢管截面规格为600×50，径向杆单元截面规格为Φ580×16，环向杆单元截面规格为Φ450×16。荷载取值：恒荷载为0.8kN／m2（含屋面自重），活荷载为1.5kN／m2。材料属性为：钢材Q235，弹性模量为2.06×105MPa，密度为7 900 kg／m3，剪切模量为7.9×104MPa，泊松比为0.3；缆索弹性模量为1.90×105MPa，密度为7 200kg／m3，泊松比为0.25。整体结构的ANSYS有限元模型如图2所示，将恒荷载用MASS 21单元以等质量施加于网壳结点上对结构进行模态分析，考虑应力刚化效应，提取前7阶模态如表2所示。可见，该结构为典型的密集低频结构。分别选取文献［12］、文献［13］、文献［15］的方法与本研究方法对该结构密集模态密集度判别结果进行对比，结果如表3所示。

图2 大跨斜拉单层扇贝网壳结构有限元模型

表2 大跨斜拉单层扇贝网壳结构前7阶模态参数

表3 特征组密集度不同判别方法对比

该结构为大跨斜拉单层网壳结构，是典型密集低频结构。由表3可知，对于全部7阶模态，本研究方法可直观判断出前7阶模态密集度较高，所得指标更趋近于0，而文献［12］和文献［15］的方法则失效。如果取第2，3和4阶模态特征组，同样也为密集特征组，本研究方法结果同样优于其他方法，文献［12］方法则失效。如果分别仅取第1和2阶模态特征组、第3和4阶模态特征组、第5和6阶模态特征组、第6和7阶模态特征组，它们都是密集模态，4种方法均可以识别为密集模态，但密集程度略有不同，指标值大小与模态密集程度相对应。文献［12］方法和本研究方法更接近且指标值均很小，文献［15］方法的指标值则相对较大。其中，第3和4阶模态特征组两者数值非常接近，为高密集模态。所有方法均可识别出该特征组的高密集性，反映了该特征组的密频特性。总体来看，对于密集低频结构，文献［12］方法仅适合用来衡量两个相邻模态的密集性，文献［15］方法适合于判别局部特征组的密集性，且对于该算例判别局部特征组的密集型也相对不够准确。文献［13］的方法与本研究方法均适用于不同特征组，包括全部特征组及部分特征组，但对于该算例全部特征值组其判别指标相对较大，没有本研究方法精准。本研究方法适用于全部特征值组及部分特征值组，且量化指标准确，便于定量评价。

4 结束语

笔者提出的频率差方法在小计算量的基础上，不仅能用于判别两个相邻特征值的密集度，还能从整体上判别一组特征值的密集性。在识别出目标特征组是否为密集特征组的同时，也能给予密集度的量化指标。对不同密集特征组的密集度进行衡量对比，该方法适合于自由度数量庞大的实际工程结构和密集低频复杂结构的模态密集度的判别。

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