拉格朗日微分中值定理的证明与坐标旋转

余胜春

（武汉科技大学理学院，湖北 武汉430081）

拉格朗日（Lagrange）微分中值定理的证明，一般都是采用构造一个满足罗尔（Rolle）定理的3个条件的辅助函数，利用罗尔定理来证明的［1］。其辅助函数具有其一定的规律性。

1 拉格朗日微分中值定理证明中辅助函数的构造与推广

对于拉格朗日中值定理函数y＝f（x）不具有罗尔定理所满足的f（a）＝f（b）的条件，要用罗尔定理来证明它，就必须通过构造辅助函数来消除这一因素，使其满足罗尔定理的条件。

1）一般构造 采用在曲线y＝f（x）的纵坐标上减去端点为A（a，f（a）），B（b，f（b））的弦所在的直线的纵坐标。事实上，弦AB所在的直线方程为：

其两者之差为：

式（1）便是常见于定理证明中的辅助函数，它满足罗尔定理的3个条件。

2）推广 ①用曲线y＝f（x）的纵坐标上减去平行于弦AB的所有直线的纵坐标得到的函数也可以作为拉格朗日中值定理证明中的辅助函数。一般地：，满足罗尔定理的条件。

进而：

② 从拉格朗日中值定理所要证明的结论“存在ξ∈（a，b），立”出发，也可以构造出满足罗尔定理条件的辅助函数来。即构造一个［a，b］上满足罗尔定理条件的函数Φ4（x），要求Φ4（x）在x＝ξ处的导数，故令：

即可。事实上，对Φ4（x）也有满足罗尔定理的条件。

2 坐标系的旋转变换

从几何的角度来看，也会提出能不能用坐标系的旋转变换，使得曲线y＝f（x）的端点A（a，f（a）），B（b，f（b））在新坐标系下的函数值相同，从而运用罗尔微分中值定理来证明这一定理呢？回答是肯定的。解决这一问题的关键在于函数y＝f（x）经过坐标系的旋转变换，即在新的坐标系下，是否仍然满足罗尔微分中值定理的条件。

事实上，坐标系xoy上的函数y＝f（x）在［a，b］上满足拉格朗日微分中值定理的条件，但经过坐标系旋转：

后，即在新坐标系下有闭区间上连续，且端点处的函数值相同，但不一定满足罗尔微分中值定理在开区间（a，b）内可微的条件。

例1 函数f（x）＝x3－32＋4在［－1，1］上满足拉格朗日微分中值定理的条件，经过坐标系旋转：

后，有：

由式（5）所确定的函数的导数为：

定理1 在坐标系XOY下的函数y＝f（x）在［a，b］上满足拉格朗日微分中值定理的条件，且不存在x0∈（a，b），使：

时，即曲线y＝f（x）在（a，b）内无垂直于弦AB的切线，则坐标系xoy经过旋转α角后得到的新坐标系XOY，则函数y＝f（x）在新坐标系XOY下满足罗尔定理的条件，可以证明拉格朗日微分中值定理的结论。

证明 函数y＝f（x）在［a，b］上满足拉格朗日微分中值定理的条件，将xoy旋转α角后，得到新坐标系XOY，有：

由式（6）所确定的函数在x∈［a，b］上显然连续，且：

定理2 在坐标系xoy下的函数y＝f（x）在［a，b］上满足拉格朗日微分中值定理的条件，且存在x0∈（a，b）使：

时，则坐标系xoy经过旋转α角后得到的新坐标系XOY，则函数y＝f（x）在新坐标系XOY下不满足罗尔定理的条件，也可以通过坐标系旋转来证明拉格朗日微分中值定理的结论。

证明 若函数y＝f（x）的图形在点（x0，f（x0））处有垂直于弦AB的切线，即满足：

可以过（x0，f（x0））作一条平行与弦AB的直线l：y－f（x0）＝f′（x0）（x－x0）交曲线y＝f（x）于x1≠x0处，不防设x1＜x0，则y＝f（x）在［x1，x0］上满足定理1的条件，即可通过坐标系旋转变换来证明存在

综上所述，拉格朗日定理的证明，无论函数y＝f（x）在［a，b］上有无垂直于弦AB的的切线，均可以通过坐标系的旋转变换来完成。

［1］同济大学数学系 .高等数学［M］.第6版 .北京：高等教育出版社，2007.