借助直径解题的常见方法

李景财　吴国庆

直径是圆中最大的弦，它除了具有弦的一般性质外，还具有一些特殊性质，如：“直径所对的圆周角是直角”.它能把圆中的许多问题转化到直角三角形中来解决.借助直径解题是《圆》这一章的重要内容，本文介绍六种利用直径解题的常见方法.

一、已知弦与直径有公共的端点，常连接它们的另一端点，构建直角三角形

例1 如图1，AD是锐角△ABC的外接圆⊙O的直径，AE⊥BC于点E，求证：AB·AC=AD·AE.

证明：如图1，连接BD.

∵AD是⊙O的直径，

∴∠ABD=90°.

∵∠AEC=90°，

∴∠AEC=∠ABD.

又∵∠ACE=∠ADB，

∴△ACE∽△ADB，

点评： 当弦与直径有公共端点时，常连接弦与直径的另一端点，得到了直角三角形.这是圆中构建直角三角形的常用方法.

若连接DC，证△ADC∽△ABE，也是运用此方法.

二、已知弦与直径的长，常过弦的端点作直径，构建直角三角形

例2 如图2，在直径为2的圆中有两条弦AB、CD，AB=1，CD=■，分别求出弧AB、弧CD所对圆周角的度数.

解析：如图2，分别过点A、C作直径AE、CF，连接BE、DF.

即弧AB、弧CD所对圆周角的度数分别为30°、45°.

点评：当已知弦、直径的长时，可过弦的一个端点作直径，转化为类型一；再连接弦与直径的另一端点，构建了直角三角形，解这个直角三角形，可求边或角.

三、已知弦长与其所对的圆周角，常过弦的端点作直径，转化圆周角

例3 （2012年湖北武汉中考题）在锐角三角形ABC中，BC=5，sin∠BAC= ，求△ABC的外接圆⊙O的直径.

解析： 如图3，过点C作直径CD，连接DB，则∠CBD=90°、∠BAC=∠BDC.

点评： 已知弦长及其所对的圆周角，可借助直径将已知弦和圆周角构建在一个直角三角形中，通过这个直角三角形解决问题.

四、已知弦切角等于圆周角，常过切点作直径，转化圆周角

例4 如图4，P是⊙O的弦CB延长线上一点，点A在⊙O上，且∠BAP=∠C，求证：PA是⊙O的切线.

证明：过点A作直径AD，连接BD，

则∠ABD=90°，∠D=∠C.

∴∠BAD+∠D=90°.

∵∠BAP =∠C，

∴∠BAP =∠D，

∴∠BAD+∠BAP =90°，

即∠PAD=90°，

∴PA是⊙O的切线.

点评： 弦切角是待证的切线与弦的夹角.当弦切角等于该弦所对的圆周角时，可过切点作直径，将圆周角转化到直角三角形中，通过等量代换，证直线垂直于直径，从而得到该直线为圆的切线.

五、已知弦与弦垂直，常过垂弦的任意端点作直径，构造垂直或平行

例5 如图5，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，且对角线AC⊥BD于H，求证：AH2+BH2+CH2+DH2为定值.

证明：如图5，过点B作直径BE，连接DE、CE，

则∠BDE=∠BCE =90°.

∵AC⊥BD于H，

∴AC∥DE，

∴弧AD=弧CE，

∴AD=CE.

在Rt△ADH中，AH2+DH2=AD2；

在Rt△BCH中，BH2+CH2=BC2，

∴AH2+BH2+CH2+DH2=AD2+BC2=CE2+BC2

=BE2，

∴AH2+BH2+CH2+DH2为定值.

点评：当弦与弦垂直时，可借助直径构造直角，产生弦与弦之间新的位置关系——平行或垂直，为问题的解决提供条件.

六、已有弦心距，常过该弦的端点作直径，构造中位线

例6 如图6，△ABC的高AD、BE相交于点H，⊙O是△ABC的外接圆，OM⊥BC于M，求证：AH=2OM.

证明：如图6，过点C作直径CF，连接AF、BF，则∠CAF=∠CBF=90°.

∵AD、BE是锐角△ABC的两条高，

∴AD⊥BC，BE⊥AC，

∴AF∥BH，BF∥AH，

∴四边形AFBH为平行四边形，

∴BF=AH.

∵OM⊥BC，OF=OC，

∴OM∥BF，OM= BF，

∴AH=2OM .

点评：求解弦心距与其他线段的关系时，可过该弦的端点作直径，连接弦与直径的另一端点，产生三角形的中位线，为证明线段的倍半关系构建基本图形.

借助直径解决圆中问题的类型较多，本文列举六种情况，介绍了借用直径解题的基本类型和基本方法，为此类问题的解决提供借鉴.