数学题型齐展示，归纳推理显身手

王宝林

摘 要：归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者是由个别事实概括出一般结论的推理，是由部分到整体、由特殊到一般的推理，它在数学结论及其证明思路的发现中、科学发明中都起着非常重要的作用.

关键词：数学题型；展示；归纳推理；思路

在高考中，经常在一些填空题中涉及形形色色的归纳推理问题，下面结合近三年来的高考真题加以分类剖析.

一、不等式背景下的归纳推理

例1.（2012年高考陕西卷）观察下列不等式：

1+■<■，

1+■+■<■，

1+■+■+■<■，

…

照此规律，第五个不等式为__________.

分析：以不等式为背景，通过已知三个不等式左边与右边的规律性加以归纳分析.

解析：结合已知所给定的几项的特点，可知不等式左边共n+1项，且从1一直到（n+1）的平方的倒数之和，右边只有一项，对应的分母为（n+1），分子为（2n+1），则由归纳推理可知第五个不等式的左边的最后一项是■，右边的分母是6，分子是11，

故填答案：1+■+■+■+■+■<■.

点评：本题主要考查归纳推理及其应用.归纳的前提是特殊的情况，归纳是立足于观察或经验的基础上的.通过观察个别情况发现某些相同特征，从已知的相同特征中推出一个明确表述的规律.

二、函数背景下的归纳推理

例2.（2011年高考山东卷）设函数f（x）=■（x>0），观察：

f1（x）=f（x）=■，

f2（x）=f[f1（x）]=■，

f3（x）=f[f2（x）]=■，

f4（x）=f[f3（x）]=■，

…

根据以上事实，由归纳推理可得：

当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f[fn-1（x）]=__________.

分析：以函数为背景，通过观察函数式的分母中x的系数1，3，7，15，…，以及分母中的常数2，4，8，16，…，通过归纳，研究两列数与n之间存在的关系分别为2n-1与2n，从而得出一般的表达式问题.

解析：观察知：四个等式等号右边的分母为x+2，3x+4，7x+8，15x+16，

即（21-1）x+21，（22-1）x+22，（23-1）x+23，（24-1）x+24，

所以归纳出分母为fn（x）=f[fn-1（x）]的分母为（2n-1）x+2n，

则当n∈N*且n≥2时，fn（x）=f[fn-1（x）]=■，

故填答案：■.

点评：主要通过直观函数表达式与数列的关系，考查数列性质、归纳能力、探究性能力和创新意识，综合推理与归纳，数列与函数等综合问题.求解关键是如何根据函数表达式判断其变化

规律.

三、数列背景下的归纳推理

例3.（2013年高考湖北卷）古希腊的数学家毕达哥拉斯研究

过各种多边形数，如三角形数1，3，6，10，…，第n个三角形数为■=■n2+■n，记第n个k边形数为N（n，k）（k≥3），以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：

三角形数 N（n，3）=■n2+■n，

正方形数 N（n，4）=n2，

五边形数 N（n，5）=■n2-■n，

六边形数 N（n，6）=2n2-n，

…

可以推测N（n，k）的表达式，由此计算N（10，24）=_________.

分析：以数列为背景，利用已知三到六边形数的等式中n2的系数与n的系数的数列排列特征加以归纳，得到一般性的结论.

解析：由题目知：

三角形数 N（n，3）=■n2+■n=■n2+■n，

正方形数 N（n，4）=n2 =■n2+■n，

五边形数 N（n，5）=■n2-■n=■n2+■n，

六边形数 N（n，6）=2n2-n =■n2+■n，

…

观察每个等式，等式中n2的系数分母均为2，分子从1开始每次递增1；而n的系数分母均为2，分子从1开始每次递减1.

于是根据规律，可以推测：N（n，k）=■n2+■n，

所以N（10，24）=■×102+■×10，故填答案：1000.

点评：本题主要考查归纳推理及其应用.在归纳推理过程中，关键是要有敏锐的观察力.通过变形，找出前几项的表达式与项数之间的关系，从而推出一般形式下的表达式.对于一般表达式，还要代入题目条件进行验证，以免出错.

在新课标高考中，归纳推理的考查背景越来越丰富多彩，往往还可以涉及三角函数、导数、数表等，是高考中的一大亮点，也是知识交汇与能力综合的一大战场，关键是归纳能力、探究性能力和创新意识等的应用，通过题目条件归纳出实质性的内容，并利用归纳的结果加以分析与解决问题.

参考文献：

周雪丽.2011年高考数学客观题中的创新题型赏析[J].中学教学杂志，2011（19）.

（作者单位 陕西榆林教研室）