共轭梯度法解一维参数识别问题

马衍波，瞿 丹

(韩山师范学院数学与统计学系，广东潮州，521041)

1 问题引入

考虑一维稳态扩散方程

带有Dirichlet边值条件

为克服不适定性，利用正则化技术，把反问题的解转化成求约束优化问题

所谓正问题是指给定q(x)和g(x)来确定参数u(x)，而反问题是给定u(x)和g(x)来确定参数q=q(x).

该模型的一个重要应用是逆地下水渗流问题，它要求根据稳态情况的状态变量u的值来确定地下水渣滓的扩散性q.该模型的另一个重要应用是物体的稳态温度分布情况.虽然正问题是适定问题，反问题在Hadama意义下是不适定问题，即：问题的解不存在，或者即使存在，也不连续依赖于观测数据u(x).而作为观测数据u(x)，不可避免带有误差，所以会带来q无穷远偏离真实值.

扩散方程反问题引发国内外众多研究人员关注，其数值解法一直是一个热点研究问题（文献[1-4]），然而由于该问题的非线性性，使得该问题的研究进展缓慢；

将正问题用抽象的算子方程表示为

此处J(q)为正则化泛函，根据先验信息选取不同的J(q)，常见的是Tikhonov正则化.α＞0为正则参数.显然，上述约束优化问题等价于如下的无约束优化问题

对于上述非线性优化问题，已存在多种有效的数值计算方法，例如高斯-牛顿法或信赖域方法（文献[4,5]）.本文利用伴随算法求出无约束问题的梯度，借助共轭梯度法在解决非线性不适定问题的有效性，得到问题的解，该方法不需要计算Hessian矩阵，计算时间大为减少.

2 伴随方法求梯度

设算子A(q)线性可逆，且Frechet可微，由

得

得到最小二乘问题的梯度分量表示

i=1,2…n,u是方程（2）的解，v是方程A(q)*v=-r(q)的解，称该方程为伴随方程.

通过伴随方法求得梯度，可以得到共轭梯度算法如下：

Step 1：给定初值q0及终止条件；

Step 3：更新搜索方向 pk=-gk+βk-1pk-1，其中 βk-1=δk/δk-1；

Step 4：利用线搜索方法确定步长αk；

Step 5：令qk=qk-1+αkpk，直到终止条件满足后终止.

3 数值实验

取n=400,h=1/n,xi=ih，用有限差分方法对方程（1）离散化，并记离散算子方程为

若qi＞0矩阵A(q)对称正定.

对于参数q的计算，极小化泛函

其中正则项

L为n×n阶带有Neumann边界条件的离散拉普拉斯矩阵：

选择不同p,通过p计算u（这是个适定问题），对u加上噪声得到uη，通过共轭梯度法求得恢复解，计算结果见图1.真实解与计算解的对比：真实解为实线，计算解为虚线，其中噪声水平δ=0.01.

图1 连续图形的恢复

[1]ALESSANDRINI G,DEL PIERO L，RONDI L.Stable determination of corrosion by single electrostatic boundary measurement[J].Inverse Problems,2007，19：973-984.

[2]ATKINSON K E.The numericalsolution ofintegralequation ofsecond kind[M].Cambridge:Cambridge University Press.

[3]JIN B,JUN Z.Inversion of Robin coefficient by a spectral stochastic finite element approach[J].J.comp.phys,2008，227：3282-3306.

[4]CAKONI F,KRESS R.Integral equations for inverse problems in corrosion detection from partial Cauchy data[J].Inverse Problems and Imaging,2007（1）：229-245.

[5]BUSENBERG S，FANG W.Identification of semicon ductorcon tactresi stivity[J].Q.Appl.Math,1991（49）：639-649.