利用特征线法求解方程ut＋b·Du＋cu＝f（x，t）的初值问题

吴建成 王平心

（江苏科技大学 数理学院，江苏 镇江 212003）

0 引言

1）初值问题

其中，c∈R1，b＝（b1，b2，…，bn）∈Rn都是常数。 x＝（x1，x2，…，xn）是 n维空间变量，t是时间变量 Du＝（ux1，ux2，…，uxn），g（x），f（x，t）是已知函数。

2）分析

上述初值问题中的方程(1)是一阶非齐次线性偏微分方程，在大多数常微分方程和偏微分方程教程中，一阶偏微分方程通常受到简单的处理，原因之一是具有很明显应用意义的偏微分方程即位势方程、热传导方程和波动方程等都是标准的二阶偏微分方程。实际上，一阶偏微分方程在变分法、质点力学和几何光学中都出现过，在流体力学、空气动力学和其它工程技术等领域有着广泛的应用。例如在种群分析中，个体（不必是生物体，如生产的产品如灯泡、晶体管、食品或更一般的任一类似的物品的集合）根据统计样本随着时间的变化会变得不合格，因此研究一阶偏微分方程有着实际意义。

一阶偏微分方程的特点是：其通解可以通过解一个常微分方程组而得到，称这种求解方法为特征线法[1]。而高阶偏微分方程和一阶偏微分方程组没有这个特点。特征线法是一种重要又实用的方法，利用该方法证明了半有界弦振动的一维半线性波动方程的间断初边值问题的分片光滑解的全局存在性定理[2]；用该方法给出了一类仓库货物储存模型解的递推表达式，并证明其光滑性从而得到了经典解的唯一性[3]；通过运用特征线法，讨论了无粘性Burgers方程柯西问题解的衰减估计，并给出了证明[4]；运用特征线法给出了Born-Infeld方程的显式表示[5]等等。特征线法除了可以运用于理论证明，也可以用于数值计算和一些实际问题的解决。

在方程（1）中令c＝0，该方程退化为非齐次传输方程，该初值问题变为非齐次传输方程的初值问题。传输方程的初值问题已经得到解决，并且得到了古典解，受其启示，我们来研究初值问题（1）～（2），通过推导来寻找该初值问题的古典解。方程（1）是一阶偏微分方程的其中一种情况，因此我们可以利用特征线法来研究初值问题（1）～（2）。

1 解题思路

1.1 利用特征线法来求解该初值问题

初值问题有解的理论保证为下面定理：

在参数s＝s0的某一领域内存在唯一解。称这样的解为局部解。该定理可以推广到 n 元函数 u＝u（x1，x2，…，xn）的具有如下形式的拟线性一阶方程

而初值问题是要在空间 Rn＋1中求满足（3）的积分曲面 z＝u（x1，x2，…，xn），使之通过如下用参数表示的n－1维超曲面γ：

过 γ 上每一个具有参数（s1，s2，…，sn－1）的点做特征曲线，即求出

之下，就能够由（5）前 n 个式子解出 s1，s2，…，sn－1，t，将它们代入（5）的第 n+1 个式子，就得到积分曲面 z＝u（x1，x2，…，xn），它就是初值问题的解。

因为线性偏微分方程可以看作是拟线性偏微分方程的特殊情况，因此由以上对方程（3）的初值问题的处理，我们来解决初值问题（1）～（2）。

它就是我们所要求的初值问题的解。

1.2 利用特征线法的一种特殊情况求解，这是一种更直接、更直观的求解方法

最后一步等于零是因为u满足方程（10）。因此，函数z（s）在过点（x，t）且具有方向（b，1）∈Rn＋1的直线上取常数值。 所以，如果我们知道解u在这条直线上一点的值，则就得到它沿此直线上的值。这就引出求解初值问题（1）～（2）的方法。

此即为我们所要求的初值问题的解。

因此，如果问题（1）～（2）有充分正则的解 u，它一定是由（9）式给出。 反之，容易验证：如果 g∈C1，f∈C1，那么由（9）式定义的 u 确实是（1）～（2）的解。

以上利用特征线法把偏微分方程转化为常微分方程求解了初值问题（1）～（2），这是一种基本又有效的方法，它不仅适用于我们本文所研究的初值问题的求解，也适用于波动方程以及其它形式的一阶偏微分方程的求解。

［1］魏雪蕊.一阶偏微分方程的特征线法[J].绍兴文理学院学报,2010,30(7):95-97.

［2］邵志强.半线性波动方程的分片光滑解[J].福州大学学报:自然科学版,2003,31(1):6-8.

［3］孙萍,林文清.一类仓库货物储存模型经典解的存在唯一性[J].新疆师范大学学报:自然科学版,2007,26(2):11-14.

［4］阮立志.无粘性Burgers方程黎曼问题光滑近似解的高阶衰减估计[J].中南民族大学学报:自然科学版,2006,25(4):97-100.

［5］阮立志.Born-Infeld方程解的表示[J].中南民族大学学报:自然科学版,2005,24(3):91-92.

［6］陈祖墀.偏微分方程[M].合肥:中国科学技术大学出版社,2003:32-51.

［7］陈才生,主编.数学物理方程[M].北京:科学出版社,2009:276-283.

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