解常微分方程的稳定的显式单步法

龙爱芳, 胡军浩

(中南民族大学数学与统计学学院, 湖北武汉 430074)

文献[1]-文献[10]给出了求解常微分方程的各种计算方法，笔者给出了另一个求解常微分方程的显式的单步法,它是二阶的,而且是无条件稳定的。

1 无条件稳定的二阶显式的单步法

设初值问题：

(1)

的理论解为y(x),将方程(1)两边在区间[xn,xn+1]上积分得：

(2)

(3)

成立,而yn+1=P(xn+1),由式(3)得确定A,B,C各值的方程组:

(4)

(5)

由式(4)与式(5)化简得

(6)

把式(6)代入式(2)化简得

(7)

把式(7)代入式(6)化简得

(8)

由式(7)和式(8)可得

(9)

(10)

把式(9)和式(10)代入上式并化简得

(11)

式(11)即为笔者提出的求解初值问题的常微分方程(1)的显式单步法。

定理1式(11)是求解初值问题的常微分方程(1)的一个二阶显式单步法。

证明由式(11)得

故式(11)是求解初值问题的常微分方程(1)的一个二阶显式单步法。

定理2式(11)是求解初值问题的常微分方程(1)的一个无条件稳定方法。

(12)

2 数值试验

表1 例1的二阶显式单步法(11)数值试验

表2 例2的二阶显式单步法(11)数值试验

参考文献/References:

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