时频域并行捕获算法

占 巍 张晓林 李 娟

(北京航空航天大学 电子信息工程学院，北京100191)

飞行器测控中扩频信号的捕获需要考虑载波大多普勒频率偏移和长周期扩频伪码.针对无外部辅助情况下单一直扩信号的快速捕获，应用的方法主要有:时域并行搜索码相位方法如匹配滤波器法，频率域并行方法如 FFT(Fast Fourier Transform)分析法，时频域并行如PMF-FFT(Partial Match Filter-FFT)捕获算法.但在DS/FH(Direct Sequence/Frequency Hopping)混合扩频测控系统中，若使用时域并行或频域并行捕获方法实现DS/FH混合扩频信号捕获，需要的长捕获时间将严重制约DS/FH混合扩频系统的跳频速率，大大降低了DS/FH混合扩频技术的抗干扰性能;时频域并行方法的速度最快，现有时频域并行捕获算法主要是PMF-FFT算法及其改进，而PMF-FFT方法载波频率分析精度受限于FFT的栅栏效应［1-2］，且实际分析带宽受相关损失的影响仅为理论分析带宽的1/4，在大频偏情况下其频率估计精度不能满足载波跟踪环路中非线性器件的线性近似范围;文献［3］利用了汉宁窗和插值算法对PMF-FFT算法进行了改进，但噪声环境下若待估计频率靠近FFT最大谱线位置时，算法会发生插值方向性错误导致频率估计误差激增.本文在PMF-FFT捕获算法基础上，引入了一种运算量小、实时性好的频率估计算法与PMF-FFT组合，通过一种Quinn频率插值算法对PMF-FFT算法估计的载波频偏进一步细估，并利用估计结果调整本地载波，再次进行捕获.组合算法在时域并行搜索扩频码相位，同时在频域并行搜索载波频率，具有捕获速度快、分析带宽大、频率估计精度高的优点.

1 PMF-FFT算法原理

到达接收机天线的DS/FH混合扩频信号经过滤波、放大、下变频和数模变换后，有用信号数学表述如下:

式中，Ai表示数字信号的幅度电平;D表示调制的数据码;τ(t)为空间传播延迟;n为采样时刻的序号;C为扩频码;Ts表示采样周期;fhi是中频频率;fdi是发射机和接收机相对运动造成的附加在信号第i个频点上的多普勒频率偏移;φni为载波相位.SIF(nTs)与本地中频载波混频为I，Q两路信号.

PMF-FFT算法原理如图1所示.

图1 PMF-FFT捕获算法原理图

截取一个扩频码周期长度的数据(截取长度视信噪比而定，信噪比大，截取的长度可以减小，否则需要增加截取长度)，数据长度为M点，与本地P个部分匹配滤波器(PMF)相关累积，PMF长度为 L 点(M=L×P).第 d(d=0，1，2，…，P-1)个部分匹配滤波器输出的复信号为

式中，Ar为本地中频载波幅度;R(Δτ)为扩频码的自相关函数;Δτ为接收信号与本地伪码的相位差，对该复信号作N(N≥P)点FFT变换，归一化输出为

2 频率估计算法选择

正弦波频率估计算法可分为参数法和非参数法.参数法一般运算量大，实时性差;非参数法基于傅里叶变换，早期的非参数法频率估计误差较大，近年来提出的比较优秀的基于DFT(Discrete Fourier Transform)频率估计算法一般分两步，首先利用FFT得到频率的粗估计，在这基础上利用比值法［4-5］、曲线拟合法［6］、二分查找法［7］等对粗估计频率进行修正.幅度比值法在待估计频率靠近量化频率位置时可能会发生插值方向性错误，利用迭代插值［8］可以达到 CRB(Cramer-Rao Bound)，但迭代算法不适合实时处理;曲线拟合法是利用主瓣内谱线值构建的曲线方程逼近主瓣来估计频率的，采样率越高，频率估计误差越小，而高采样率导致一个扩频码周期内的数据量太大，因此曲线拟合插值法不适合对长周期的测距码捕获;基于二分迭代插值法频率估计精度高，但算法需要迭代，运算量大，不能实时处理.Quinn提出了利用FFT主瓣内次大谱线与最大谱线FFT系数复数值之比的实部进行频率插值的方法［4，9］，该算法的突出优点在于当待估计频率靠近DFT最大谱线位置时不会发生插值方向性错误，且算法简单，计算量小，估计精度高，该算法的最大标准差为克拉美罗限的1.8倍.

3 一种时频域并行捕获算法

本文提出了一种采用反馈式结构的时频域并行捕获算法.采用双驻留检测方式，原理如图2所示.

图2 一种反馈式结构的时频域并行捕获算法

利用捕获判决1模块对PMF-FFT算法输出进行粗捕获判决，判断捕获后利用一种Quinn频率插值算法对PMF-FFT结果分析，提取载波频率精估计值并反馈至本地载波，利用捕获判决2模块进行验证.

算法理论表述如下，为表述简洁，令

记s(k)最大值处对应离散频率索引为k0，k0=int［fdiLTsN］，int［x］表示最接近 x 的整数.对于较大的N，s(k0)可近似表示为

式中δ是信号真实频率与频率估计值的差值关于频率分辨率的倍数，δ=fdiLTsN-k0.

4 算法分析与仿真结果

相对于PMF-FFT算法，本文提出的一种反馈式结构的时频域并行捕获算法提高了载波捕获的精度.由于利用了Quinn频率插值算法，载波捕获精度大大提高.文献［10］给出了Quinn算法的频率估计方差:

式中T为采样数据的时间长度.

从仿真数据看，相对于PMF-FFT算法，载波频率估计误差大大降低，如图3所示.

仿真参数:DS/FH混合扩频信号跳频速率100跳/s，跳频频率7个，跳频间隔25 MHz;数据速率10kbit/s，扩频码长1023，码速率10.23 Mbit/s;信噪比-5dB，采样速率512Mbit/s，PMF累积点数400，PMF个数128，做128点FFT，每个频点蒙特卡罗仿真100次.

从仿真结果看，PMF-FFT算法的最大频率估计误差为5 000 Hz，达到了其频率分析精度的一半;而本文算法的最大频率估计误差仅为20 Hz，其频率估计结果无需频率牵引即进入了载波跟踪环路的线性近似区间.

图3 PMF-FFT与反馈式结构的时频域并行捕获算法载波捕获误差对比

在低信噪比、大频偏下，本文算法减少了平均捕获时间，理论表述如下:

在有信号时，PMF-FFT输出近似服从Rice分布，检测概率为

无信号时，PMF-FFT输出近似服从Rayleigh分布，虚警概率为

双驻留检测方式下，当跳频同步采用等待搜索法时，PMF-FFT算法对DS/FH混合扩频信号的平均捕获时间［2］为

式中，K为惩罚因子;r为验证阶段需要的扩频码周期;M为扩频码长度;Nh为跳频图案中频率个数;Th是跳频时间;(Pd1，Pfa1)和 (Pd2，Pfa2)分别是捕获阶段与验证阶段的检测概率和虚警概率，且PD=Pd1×Pd2，PFA=Pfa1× Pfa2.由于跳频同步采用等待搜索法，跳频平均捕获时间和扩频捕获无关，式(21)中前项为DS信号平均捕获时间，后项为FH信号平均捕获时间.

本文时频域并行捕获算法表达式和PMFFFT算法完全相同.但相对于PMF-FFT算法，本文算法在捕获后，通过调整本地载波减小了频率误差，大幅度提升信号均值s.如图4所示，当信噪比-20dB、频偏995kHz时，PMF-FFT方法捕获时信号均值仅为157，而本文反馈式结构的时频域并行捕获算法的信号均值达到了904.

若本文算法在验证阶段的判决阈值和捕获阶段相同，且等于PMF-FFT算法的判决阈值，则相对于PMF-FFT算法，本文算法提高了 Pd2，由式(21)可知，降低了平均捕获时间.图5描述了判决阈值Vt相同时，两种算法在不同频偏下DS信号平均捕获时间对比，无跳频，其余仿真参数如前相同.

图4 PMF-FFT与本文算法捕获输出对比

图5 相同判决阈值时两种算法平均捕获时间对比

由图5可见，在频偏较小时，两种算法的平均捕获时间相同，且基本维持一个恒定值，这是由于串联了多个PMF，此时单个PMF的检测概率Pk在一定范围内不能改变总的检测概率Pd.频偏较大时，本文算法的平均捕获时间明显小于PMFFFT算法.

若本文算法的捕获判决阈值和PMF-FFT算法相同，而将验证阶段判决阈值设置在合理范围，则不仅可以提高Pd2，还可以降低验证阶段的虚警概率Pfa2，从而进一步减小了平均捕获时间.如图6所示，捕获阶段判决阈值1为60，验证阶段判决阈值2为200，其它仿真参数同图5.

在低信噪比、大频偏下，本文算法增加了实际分析带宽.飞行器以第一宇宙速度运动时，Ka波段最大多普勒频率偏移±790 kHz，考虑到频率源不稳定引起的频率漂移，频偏更大.从式(4)可以看出，G1(Δfd，k)在频偏下产生相关损失，频偏越大，相关损失越大，如当频偏1 MHz时，上述其它仿真参数不变，相关损失高达12.6 dB，导致平均捕获时间很长，所以PMF-FFFT算法的实际分析带宽一般仅为理论分析带宽的1/4.而本文算法通过改变验证阶段的检测概率与虚警概率，可以在相同平均捕获时间指标下，实现更大的频偏捕获范围.图6中，当平均捕获时间为10-4s时，PMF-FFT算法实现的频偏捕获范围为100kHz，而本文算法的频偏捕获范围达到了115 kHz.

图6 双判决阈值时两种算法平均捕获时间对比

5 结束语

在大频偏条件下，由于 FFT的栅栏效应，PMF-FFT算法的载波捕获精度超出了载波跟踪环路鉴相器、鉴频器等器件的线性近似范围，本文一种反馈式结构的时频域并行捕获算法通过PMF-FFT算法粗估载波频偏，利用一种Quinn频率插值算法提高频偏估计精度，并使用估计结果反馈调整本地载波，使载波捕获的精度大大提高，仿真环境下，本文算法的载波捕获结果无需频率牵引即进入了载波跟踪环路的线性近似区间.

在低信噪比、大频偏条件下，本文一种反馈式结构的时频域并行捕获算法减小了平均捕获时间，增加了实际分析带宽.

但由于Quinn算法是利用谱峰左右的两条谱线来估计频率，当对PMF输出数据补零后进行FFT，此时谱线值已发生改变，导致Quinn算法频率估计误差激增.因此本文算法不适合对数据大量补零做FFT的情况.

References)

［1］ Liu Chang，Zhang Jun.Analysis and optimization of PMF-FFT acquisition algorithm for high-dynamic GPS signal［C］//2011 IEEE 5th International Conference on Cybernetics and Intelligent Systems.Qingdao:IEEE，2011:185-189

［2］ Qi Hua，Shi Xiaoqian，Ji Le.PMF-FFT algorithm for PN code acquisition［J］.Journal of Xi'an Technological University，2010，30(1):57-61

［3］章兰英，袁嗣杰，陈源.航天扩频测控系统中伪码捕获方法研究［J］.电子学报，2011，39(6):1471-1476 Zhang Lanying，Yuan Sijie，Chen Yuan.Research on pseu-do code acquisition method in aerospace spread spectrum TT＆C system［J］.Chinese Journal of Electronics，2011，39(6):1471-1476(in Chinese)

［4］ Thomas Grandke.Interpolation algorithms for discrete Fourier transforms of weighted signals［J］.IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement，1983，32(2):350-355

［5］ Quinn B G.Estimating frequency by interpolation using Fourier coefficient［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1994，42(5):1264-1268

［6］曹延伟，张昆帆，江志红，等.一种稳健的离散频谱校正方法［J］.电子与信息学报，2005，27(9):1353-1356 Cao Yanwei，Zhang Kunfan，Jiang Zhihong，et al.A robust discrete spectrum correcting method［J］.Journal of Electronics ＆Information Technology，2005，27(9):1353-1356(in Chinese)

［7］ Aboutanios E.A modified dichotomous search frequency estimator［J］.IEEE Signal Processing Letters，2004，11(2):186-188

［8］ Aboutanios E，Mulgrew B.Iterative frequency estimation by interpolation on Fourier coefficients［J］.IEEE Trans on Signal Processing，2005，53(4):1237-1242

［9］ Quinn B G.Estimation of frequency，amplitude，and phase from the DFT of a time series［J］.IEEE Trans on Signal Processing，1997，45(3):814-817

［10］齐国清.几种基于FFT的频率估计方法精度分析［J］.振动工程学报，2006，19(1):86-92 Qi Guoqing.Precision analysis of several FFT-based frequency estimation methods［J］.Journal of Vibration Engineering，2006，19(1):86-92(in Chinese)