基于方差的保障时间不确定性分析

吴 勇 潘 星 康 锐 马 麟

(北京航空航天大学 可靠性与系统工程学院，北京100191)

装备的保障过程是一系列不同类型的具有不同逻辑关系的保障活动的集合.对保障过程进行分析是对保障系统进行评价的基础.保障系统有众多评价指标，其中及时性指标是对保障时间进行评价的重要指标[1].由于保障活动受到资源、时间、工作环境以及人为操作等许多不确定因素的影响，使得保障过程工期(保障时间)呈现出不确定的性质.对于保障时间来说，保障过程模型输入的不确定性导致了模型输出的不确定性[2].保障时间的不确定分析可以通过对保障过程工期模型的敏感性分析，辨识那些对保障时间不确定性影响最大的保障活动，通过对不确定性影响最大的保障活动进行控制以实现对保障过程工期的精确控制，为保障决策提供定量支持.

为了对保障时间进行分析，首先需要对保障过程工期进行建模.目前针对保障过程工期建模的方法主要有cPM/PERT方法、GERT方法、IDEF3方法和Petri网等[3].由于PERT方法不允许回路存在，也就意味着无法对某一保障活动的重复执行进行描述，Petri网和IDEF3方法对模型无法进行有效解析，因此基于GERT方法对保障过程得到了较为广泛的应用.GERT方法可以从活动逻辑关系分析入手，建立保障过程的随机网络图，允许保障活动的重复执行，考虑活动及各个进度路径的选择和废弃，较好地描述了保障过程中保障活动之间的逻辑关系.文献[3]利用GERT方法建立维修活动的随机网络模型，并利用其解析算法对维修时间进行了精确计算;文献[4]通过概率计算和蒙特卡洛仿真的手段对各活动历时进行估计，在此基础上，利用GERT方法对抢修工时进行计算.

保障时间的不确定性受到众多保障活动参数的影响，对保障时间不确定性分析目的是要找到对其不确定性影响最大的保障活动.不确定分析是通过模型敏感性分析(SA，Sensitivity Analysis)辨识出那些输入的不确定性参数对整个模型输出的不确定性影响最大，是近来在风险研究中一个重要而受到广泛关注的问题[5].不确定性分析方法可分为以下三类:文献[6]提出的局部敏感性分析(local sensitivity analysis);文献[7]提出的筛查方法(screening methods);文献[8]提出的全局敏感性分析(global sensitivity analysis)，也称为全局分析.其中，局部敏感性分析只能用在不确定因素单一的情况，筛查方法由于计算成本太高而只适应于输入参数数量庞大的情况[7]，这两种方法显然不适用于保障过程的不确定性分析.全局敏感性分析[9－12]是目前应用最为广泛的方法.Saltelli在文献[8]提出了这种全局分析的基本原则，在此基础上，在文献[9]中提出了基于方差的全局性敏感性分析方法，并证明了该方法的有效性.

为了对保障过程的不确定性进行分析，本文建立了保障活动的不确定性重要度模型，在此基础上，选用GERT(Graphic Evaluation and Review Technique)方法对保障时间进行建模，并设计了一种基于方差的保障时间不确定性分析方法来求解保障活动的时间不确定性重要度指标.最后，结合航母舰载机的具体案例来验证了方法对分析保障活动不确定影响的有效性.

1 保障过程不确定性分析

1.1 保障任务与保障活动

在装备保障过程中，存在着多种保障任务，其对应的保障活动也不一样.通常来讲，装备的保障任务和其包含的主要的保障活动如下.

1)使用保障.主要指为保证装备正确动用以便能充分发挥规定的作战能力所进行的一系列技术和管理活动，例如使用前检查、加注燃料和弹药、动用人员及人力准备及装备储存与运输等.

2)维修保障.主要指为保持和恢复装备完成的技术状况所进行的保障工作，如装备的预防性维修与修复性维修、战场抢修等.

3)供应保障.主要指为装备提供相应的器材供应所进行的保障工作，如备件供应、弹药供应、燃油供应、气体供应和耗材供应等.

4)训练保障.主要指为完成装备训练任务而采取的各种保障措施，如使用人员训练、保障人员训练、教员训练和管理人员训练等.

以上保障任务中各保障活动会根据装备类型不同而不同，如可按专业将设备划分为电子类、机械类，装备的维修保障工作是其不同工作项目的任务组合.保障类型和保障活动的多样性导致保障过程的不确定性尤为突出，通过不确定分析建模辨识不同保障活动的重要度，为保障资源配置提供支持.

1.2 保障活动不确定性重要度

正是由于装备保障活动的多样性，它们的保障内容和时间千差万别，当某一保障活动的参数(时间、频率等)发生波动时，就会对整个装备保障过程产生重要影响.从时间参数角度来讲，保障活动的执行时间对整个装备保障时间的影响即称为保障活动时间不确定性.

如用模型表示不确定环境下的保障过程:

其中，Y表示保障过程的输出;X=X1，X2，…，Xk表示K个独立的输入，即互相独立的保障活动参数.函数f(X)为平方可积函数，则根据方差分析的相关定义，可以得到:

因此，由式(2)变形可以得到函数输出Y的方差V[Y]的分解式为

其中，Vi与Vij分别为输入函数满足一定条件时Y的期望的方差，即

根据条件方差公式[13]可得

当感兴趣的保障活动的输入参数Xi已知时，保障活动不确定重要度全局性评价指标Ui为保障过程输出参数在Xi的条件方差V[E(Y|Xi)]与输出参数方差V(Y)之比[13－14]，公式如下:

2 保障活动时间不确定性重要度计算

2.1 基于GERT的保障过程随机网络模型

由不同逻辑关系的保障活动构成的保障过程是一种典型的随机网络[15].因此，本文选用随机网络的图示评审技术对保障过程进行建模.保障时间是保障过程的一个重要输出表现.保障过程GERT模型的输入是构成保障过程的保障活动的相关参数，输出为保障过程工期.依据以下4个步骤对保障过程进行建模.

1)分析保障活动间逻辑关系，依据GERT不同的节点类型构建保障过程随机网络图.

2)收集各项保障活动的基本参数:活动的发生概率和活动时间的概率分布，计算节点间传递函数Wij(s).

式中，pij为活动(i，j)在前导节点i实现的条件下发生的概率;Mij(s)为该活动(i，j)所费时间的矩母函数.活动(i，j)等价传递过程如图1所示.

图1 GERT网络基本单元

3)分析网络中参数传递线路和回路，利用梅森公式确定保障过程GERT网络的等价传递函数WE(s).

式中，pk为由节点i到节点j第k条路径上的传递函数;Δk为消去与第k条路径有关的全部节点和箭线后剩余子图的特征式;Δ为网络图的特征式[16].

这里WE(s)是保障过程随机网络实现概率pE与保障过程工期矩母函数ME(s)之积.即

具有以下性质[17]，当s=0时，

4)依据式(14)计算保障过程工期的矩母函数ME(s)，对ME(s)求导，得到保障过程工期期望值E(t)和.

2.2 保障时间不确定性分析

用Ai表示某个待分析的保障活动，当保障过程输出为总工期T时，式(7)可表示为保障活动工期方差V(Ti)与保障过程总工期方差V(T)的比值.

由矩母函数ME(s)性质可知

保障过程工期的方差V(T)可表示为

其中，E[T]为保障过程工期期望;E[T2]为保障过程工期平方的期望.

给定一个保障活动Ai时间分布的方差i'，则有一个不同的活动时间矩母函数M'ij(s)，相应有一个保障过程总工期的方差V(Ti).得到

综上所述，当输入是保障活动不确定参数，输出是保障过程总工期，保障过程不确定性分析步骤如图2所示.

图2 保障时间不确定分析方法

3 案例应用分析

航母舰载机的航空保障是一个典型的复杂、不确定的保障过程.在这一保障过程中主要包括以下保障活动[18]:飞行前的检查;补充燃料、滑油、特种液体和气体;充电;起飞、降落保障;舰面、机库调度;维修保障等.舰载机保障过程如图3所示.在这些保障过程中，一些保障活动的发生具有不确定性，如降落后飞机可能出现故障需要维修，根据故障情况可能需要船员级维修或者中继级维修;弹射前飞行员开机检查有可能出现故障情况.这里为便于计算简化，假设这些保障活动时间均服从正态分布.舰载机航空保障作业转化为GERT网络，如图4所示.

图3 舰载机航空保障过程

图4 舰载机航空保障作业随机网络模型

本文结合美军某次航母高强度演习F/A-18的统计数据，各活动时间参数分布及其矩母函数如表1所示[19].

表1 舰载机航空保障作业活动参数表

利用式(9)计算0→12等价传递函数为

求得保障过程总工期方差V(T)=8.124

为每个保障活动工期方差的变动引起的保障过程工期方差变化，这里做出以下假设:

1)保障活动方差由1变为0;

2)保障活动方差由1变为0.5.

得到这两种变化的相关数据如下表2所示.

表2 保障活动工期不同方差不确定性分析

保障活动工期方差不同变化量下对保障过程工期影响对比如图5所示.

从图中可以得到以下结论:

1)第一种情况(方差由1变为0)和第二种情况(方差由1变为0.5)保障工期的变化曲线基本一致，说明保障过程输入变化对输出不确定性影响是相对稳定的.

2)第一种情况下保障工期Ui整体高于第二种情况，如对于活动1，第一种情况下Ui大于第二种情况下Ui.说明保障活动工期方差波动对工期方差影响是成正比的，活动工期方差波动越大，整个保障过程工期方差变化越大.

图5 保障活动工期方差不同变化Ui值对比

4 结束语

保障过程的不确定性分析对于找到影响保障过程的敏感性因素有重要作用.本文通过对保障过程的敏感性分析，提出了保障过程的不确定性重要度指标，并设计了一种基于方差的保障时间不确定性全局分析方法;利用保障过程的随机网络模型，结合GERT解析算法，给出保障时间为不确定输出、保障活动的发生概率和时间随机分布作为不确定输入条件下该方法的求解过程;以航母舰载机航空保障为案例，验证了该方法的有效性.

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