低矮房屋风压时程的概率分布

陶 玲，黄 鹏，顾 明，全 涌

（同济大学 土木工程防灾国家重点实验室，上海 200092）

低矮房屋的风荷载与风压有关，且低矮房屋的风压脉动性很大，其极值的大小和出现的频率决定了房屋围护结构的抗风能力.风压时程的概率分布是研究极值风压特性的首要条件，也是风工程研究者一直关注的问题.早在20世纪60年代，Davenport［1］就提出脉动风压服从正态（Normal）分布的假设.1980年，Stathopoulos［2］通过对一系列低矮房屋的风洞试验，得出峰值因子小的风压时程符合正态分布，峰值因子较大的风压时程不太符合正态分布，而是较符合 Weibull分布，但是 Weibull分布的参数较难确定.到了2002年，Sadek等［3］则通过概率图相关系数（probability plot correlation coefficient，PPCC）方法［4］对各种可能的概率分布进行了比较，最终筛选出极值I型（Gumbel）分布、正态分布和Gamma分布，又对该三种分布进行比较，得出概率分布的低端符合正态分布，而整个风压时程则和 Gamma分布很吻合.2007年，Tieleman等［5］再次验证了风压时程和Gamma分布吻合得很好，且给出了Gamma分布三参数的矩估计方法，大大简化了Gamma分布参数的估计过程.但是Sadek等［3］和Tieleman等［5］关于Gamma分布的分析都基于风压时程偏度都较小（在1.20以下）的情况，而实际的时程偏度有时会较大.

本文对一低坡度低矮房屋进行了刚性模型测压试验，通过引进广义极值（GEV）分布、对数正态（Lognorm）分布和Gamma分布，将偏度从0.20～2.90的时程用该三种分布进行拟合比较，发现对于偏度较小的时程，对数正态分布拟合得最好，偏度较大的时程，广义极值分布拟合得最好.最后对面积平均后的时程进行了概率分布分析.

1 试验概况

本次试验是在同济大学TJ-2风洞完成的.选取低矮房屋的长度、宽度和高度分别为21.6m，12.0 m和6.6m，屋面坡度为4.8°，其测压试验模型为刚性模型（见图1），用有机玻璃板和ABS板制成，具有足够的刚度和强度，使得在参考高度1m处的试验风速达12m·s-1时模型不会发生变形，也不会出现明显的振动现象，以保证测压试验的精度.模型的几何缩尺比为1／40，与实物在外形上保持几何相似，风速比设为1／3，则相应的时间比为3／40.试验时将模型放置在转盘中心，通过旋转转盘模拟不同风向，本次采样的风向角为0°和45°.为了和低矮房屋的环境相对应，试验的大气边界层流场模拟为B类地貌风场［6］，风场模拟结果如图2所示，平均风速剖面指数α＝0.16，模型顶部（对应实际6.6m）紊流度约为24%.试验中扫描阀扫描频率设置为312.5Hz，一次采样57.6s（对应实际12.6min）.整个屋面布点357个，本文要讨论的屋面测点分成三个区域，每个区域的5个测点及A和B区域用于面积平均的测点如图3所示.

图1 测压试验中的刚性模型Fig.1 Rigid pressure measurement model

2 数据处理方法

2.1 风压时程概率分布

由于Sadek等［3］已经验证了对于较小偏度的风压时程概率分布和Gamma分布较接近，因此本文先探讨Gamma分布，然后引进广义极值分布和对数正态分布进行讨论.

（1）Gamma分布

基于风压时程的非正态性，Sadek等［3］通过PPCC方法对多种分布函数进行了测试，确定了低矮建筑表面不同区域风压时程的最优概率分布为三参数Gamma分布，而低端较适合正态分布.其三参数Gamma分布函数为

式中：μ，a，γ分别为位置参数、比例参数及形状参数，Γ为Gamma函数.x＞μ表示分离区域的吸力必须乘以-1.Tieleman等［5］给出了Gamma分布三参数的矩估计为

式中：X，σ和S分别为风压时程的均值、标准差和偏度.这里注意S始终为正值，当风压系数位于吸力区域，偏度S为负时，须乘以-1，来得到正值，当偏度S太小时，形状参数γ就会过大，Γ函数就会趋于无穷大.这种情况下，矩估计的方法就失效，只有用PPCC方法.而时程的概率分布也很符合正态分布，可以用正态分布去拟合.

（2）广义极值分布

由于Sadek等［3］验证了极值I型分布和风压时程概率分布拟合得不是很好，但极值I型分布是广义极值的特殊形式，故而本文尝试了广义极值分布，其概率密度函数为

式中：γ是形状参数，μ是位置参数，a是比例参数，可采用以下概率权重矩方法［7］得到.值得注意的是，当γ＝0时，该分布即为极值I型分布，当γ＜0时，该分布为极值II型分布，极值I型分布和极值II型分布均为无极限分布.当γ＞0时，该分布为极值III型分布，也是Weibull分布的一种形式，这种分布是有极限的.样本x的分布函数F（x）＝P（X≤x）的概率权重矩可表示为

式中：i，j，k均为实数，当j和k均为0时，上式即为普通的x 的i阶原点矩，E 表示数学期望.M1，j，k是用来估计分布参数的常用形式，其中又有 M1，0，k和M1，j，0两种方法.本文采用 M1，j，0的方法，则对于广义极值分布，有

为极值样本序列，求极大值时，按照从小到大排列.

（3）对数正态分布

对于两参数的对数正态分布，Sadek等［3］经过测试，发现其和风压时程的概率分布吻合得不好，但是陈斌［8］通过L矩方法估计参数证明三参数的对数正态分布却吻合得较好.其概率密度函数为

式中：a为比例参数，μ为位置参数，γ在下文的PPCC比较中，按照形状参数处理.其参数可以通过L矩方法［9］估计.

式中：M1，0，0，M1，1，0和 M1，2，0为0阶、1阶和2阶概率权重矩，计算式同上文；E0＝2.04665340，E1＝-3.65443710；E2＝ 1.83967330，E3＝-0.20360244，F1＝ -2.0182173，F2＝1.2420401，F3＝-0.2174801；Ф（X）表示标准正态分布（高斯分布）x≤X的概率.这种方法只有在τ3≤0.93时才有效.

2.2 比较方法

PPCC［3］是用拟合的值和原始时程之间的相关性来估计分布参数.相关系数的定义如下：

式中：σx和σy分别表示变量x和y的标准差.相关系数是用最小二乘法分析两个变量之间关系的紧密程度，取值在0～1之间，当它达到1时，表示两个变量之间最紧密，成线性关系.

对于三参数分布，给定若干个形状参数，其中PPCC达到最大的值即为该分布的最优形状参数，广义极值分布的形状参数选取如图4所示.当选定了形状参数，位置参数和比例参数通过最小二乘法可以确定.该最大值PPCC也为该分布和原始时程之间的相关性衡量指标.

图4 GEV分布的PPCC随形状参数的变化Fig.4 Variation of the PPCC of GEV distribution with the shape parameters

3 数据处理结果分析

3.1 测点的各种分布比较

屋面在45°风向角下的偏度分布如图5所示，可以看出偏度都是负值，而偏度的正负值仅表示偏的方向，下文仅讨论它的大小.从图中可知，在45°风向角下，平屋面的屋角出现了锥形涡，锥形涡的两翼偏度较大，最大达到3.00以上，而沿着涡轴上的偏度最小，在0.50以下，所以屋面的不同区域偏度分布差异较大.0°风向角下的偏度分布要均匀些，都是小于2.00的，限于篇幅，图示没有给出.考虑到不同风向角下可能会产生的差别，根据屋面的偏度分布图选取了45°风向角下的屋面较小偏度区域（A）和较大偏度区域（C）以及0°风向角下的中等偏度区域（B）（见图3），对其时程的各种概率分布进行比较.各区域PPCC的比较如表1所示.先看A区域的各测点，其偏度都在0.50以下，这三种分布的PPCC都在0.99000以上，可以说吻合得很好，通过图6a则可以更清楚地看出，对数正态分布和Gamma分布更好，其PPCC始终是大于0.99700的.再看B区域的各测点，注意这是在0°风向角下，但是其偏度的大小是和45°风向角下几乎相同，为0.50～1.50.对于该区域的各点，这三种分布的PPCC也均较好.通过图6b可知广义极值分布和对数正态分布略好，这两种分布的PPCC均都是在0.99800以上的.C区域的各测点偏度越来越大，当偏度超过2.00时，三种分布的PPCC均小于0.99000了.从图6c也能清楚地看出当偏度超过1.50时，原始时程的概率分布和三种分布的相关性均急剧下滑，相比较而言，广义极值分布占有优势.这样就不难得出，当偏度较小时，对数正态分布拟合得最好.当偏度很大时，这三种分布都不能很好地拟合时程的概率分布，广义极值分布要好些，且随着偏度的增大，广义极值分布的优势更明显.为了更清楚地看出这三种分布的优劣，图7给出了各区域的代表测点风压时程各种分布的概率密度比较及原始时程和拟合值的比较.文中的风压系数大多是负值，为了方便比较，全部转为相反数.图中的结论和上文的分析是一致的，值得注意的是，从图7e中可以看出，原始风压时程的概率密度轮廓参差不齐，这就意味着不可能找到一条完美的曲线和它拟合.

图5 屋面的偏度分布图（45°风向角）Fig.5 Skewness distribution over the roof（45°wind direction angle）

3.2 面积平均后风压时程的概率分布

对于B区和C区不同面积的时程进行即时平均，得到其面积平均后的风压时程，对其概率分布也进行了比较，如表2所示.从表中可知，B区面积平均后的时程偏度变化不是很大，与单个测点一样，和三种分布吻合得均很好.值得一提的是，45°风向角下的C区单个测点的时程大多偏度较大（见表1），而面积平均后时程的偏度大大减小，为0.70～1.20，不同的测点数面积平均后的时程，和三种分布吻合得均很好，PPCC均在0.99000以上.其中9个测点面积平均后的时程概率密度比较、原始时程和拟合值的比较及累计概率比较如图8所示，从图中可见，这三种分布和面积平均后的时程概率密度均拟合得较好.

表1 单个测点风压系数时程的PPCC比较Tab.1 PPCC comparison of single tap pressure coefficient time series

表2 面积平均后时程的PPCC比较Tab.2 PPCC comparison of area-average pressure coefficient time series

图8 C区域45°风向角下9个测点面积平均后时程的各种分布概率密度及累计概率比较（S＝0.89）Fig.8 Comparison of probability density and accumulative probability among different distribution of 9taps area-average time series of C region at 45°wind direction angle（S＝0.89）

4 结论

（1）对于斜风向下的屋面，偏度分布很不均匀，锥形涡涡轴上的偏度较小，为0.50以下，而两翼的偏度较大，达到3.00以上.

（2）偏度较小的时程和Gamma分布、广义极值分布及对数正态分布均吻合得较好，当偏度增大到1.50以上时，这三种分布和风压时程本身的概率分布误差较大，且随着偏度的增大，误差也增大.偏度小于0.80时，对数正态分布拟合得最好.偏度大于0.80时，广义极值分布拟合得最好.

（3）面积平均后的时程偏度都不是很大（小于1.50），与Gamma分布、广义极值分布及对数正态分布都吻合得较好.

（4）不同区域在相同风向角下偏度不同，相同区域在不同风向角下偏度也会不同，而风压时程的概率分布和偏度紧密相关，故而风压时程的概率分布是不能以区域划分的.

［1］Davenport A G.Note on the distribution of the largest value of a random function with application to gust loading［J］.JournalInstitution of Civil Engineering，1964，24：187.

［2］Stathopoulos T.PDF of wind pressures on low-rise buildings［J］.Journal of the Structural Division，1980，106（5）：973.

［3］Sadek F，ASCE M，Simiu E.Peak non-Gaussian wind effects for database-assisted low-rise building design［J］.Journal of Engineering Mechanics，2002，128（5）：530.

［4］Filliben J J.The probability plot correlation coefficient test for normality［J］.Technometrics，1975，17（1）：111.

［5］Tieleman H W，GE Zhongfu，Haji M R，et al.Theoretically estimated peak wind loads［J］.Journal of Wind Engineering and Industrial Aerodynamics，2007，95：113.

［6］中华人民共和国住房和城乡建设部.GB50009—2001建筑结构荷载规范［S］.北京：中国建筑工业出版社，2002.Ministry of Housing and Urban-Rural Devepment of P R China.GB50009—2001 Load code for the design of building structures［S］.Beijing：China Architecture Industry Press，2002.

［7］Hosking J R M，Wallis J R，Wood E F.Estimation of the generalized extreme value distribution by the method of probability weighted moments［J］.Technometrics，1985，27（3）：251.

［8］陈斌.典型低矮建筑屋面风压的概率统计分析及极值研究［D］.上海：同济大学土木工程学院，2008.CHEN Bin.Probability characteristics and extreme values of wind pressure on roofs of typical low-rise buildings［D］.Shanghai：College of Civil Engineering of Tongji University，2008.

［9］CHEN Yuanfang.Study on L-moment estimation for Log-normal distributions with historical［J］.GIS ＆RS in Hydrology，Water Resources and Environment，2003，1：107.