非自治强阻尼梁方程的渐近行为

任永华，张建文

（太原理工大学 数学学院，太原 030024）

众所周知，非线性发展方程领域中系统的渐近行为自然地由相应的半群的吸引子来描述[1-6]。其中，对系统吸引子的研究一直受到众多数学物理学工作者的高度关注。宋雪丽等证明了具有非线性耗散项的三维Navier-Stokes方程强解整体吸引子的存在性[3]；而 Simsen Jacson和 Simsen Mariza Stefanello讨论了p（x）-拉普拉斯微分方程组的渐近行为[4]。当系统明显地依赖于时间t时，情况变得相当复杂，由于非自治系统中受到的与时间有关的外力作用破坏了自治系统所产生的半群性质，那些在自治系统中发挥重要技术的关键理论不再适用，需要进一步推广。目前，非自治系统已经取得了相当的进展，文献[5]研究了非自治弦方程的吸引子，但对于非自治梁方程的一致吸引子的研究相对较少。本文着重考虑如下非自治强阻尼梁系统在空间E＝V×H中的一致吸引子的存在性：

其中k≥0，u＝u（x，t）是关于变量x和t的Ω×[τ，＋∞）的算子函数。Ω⊂Rn（n∈N）是一个有界开集，且具有充分光滑的边界Γ.h＝h（x，t）∈Η（h0）与时间相关，且在（R，L2（Ω））上是平移紧的。这里，我们设

1 解的存在唯一性

是一个自伴正定线性算子，并具有特征值｛λi｝i∈N满足0＜λ1≤λ2≤ … ≤λm…，λm→＋∞（m→＋∞）；

分别表示H＝L2（Ω），和V＝H20（Ω）上的内积和范数。

下面考虑系统（1）-（3）.为了证明解的存在性，我们假设

其中∀s1，s2∈R，C1，C2为非负常数，｜·｜0为 R上数的绝对值。

其中∀s∈R，β1，β2为常数。

这样我们容易将系统（1）-（3）简化为关于时间的一阶抽象发展方程。令∂u／∂t＝v，系统等价于Hilbert空间E上的初值问题：

由文献[1，2]知，C是一个扇形算子，且是E中解析半群eCt的无穷小生成元。由参考文献[6]，易知N（U，t）在E上是全局Lipschitz连续的。再由微分方程的解的存在唯一性理论，有如下定理。

定理1 假设条件（H1）、（H2）成立，则对于任意的Uτ∈E，存在唯一的函数U（·，Uτ）∈C（（τ，＋∞），E），使得Uτ＝U（τ，Uτ）且U（t）满足下面的积分方程

U（t，Uτ）关于t和Uτ共同连续，且∀T＊＞0，

2 一致吸引子的存在性

分别表示E＝V×H上的内积和范数。

引理1 对于∀φ＝（u，v）T，有

根据Gronwall不等式，在空间（E，｜·｜E）中，得到下面的吸收不等式：

据上，可得出下面引理。

引理3 对应于问题（6）的过程族｛Sh（t，τ）｝，h∈H（h0）有一个一致有界的吸收集B0.也就是说，吸收集

是一致吸收的；则，对于所有的h∈Η（h0）和对于E的任意的有界集B，对于t≥τ＋t1（B），Sh（t，τ）B⊆B0成立。

引理4 对应于问题（6）的过程族｛Sh（t，τ）｝，h∈Η（h0）是一致渐近紧的，和（E×H（h0），E）-连续的。

证明 设φ（t）＝（u（t），v（t））T是问题（6）的解。初值分别为φ1τ和φ2τ的（6）的两个解φ1（t）和φ2（t）.它们的差φ＝φ1-φ2满足

用φ对式（11）做内积（·，·）E，得

下面我们逐项估计。

因此，对于∀t≥τ，过程族｛Sh（t，τ）｝，h∈Η（h0）是（E×H（h0），E）-连续的。从而，由上述引理结合定理1可得如下定理。

定理2 由问题（6）所定义的算子半群在空间E中具有一致吸引子。

[1]陈双全，周盛凡，李红艳.黏弹性和热黏弹性方程的全局吸引子[J].应用数学与计算数学学报，2008，22（1）：14-20.

[2]姜金平，侯延仁，王小霞.含线性阻尼的2D-非自治g-Navier-Stokes方程的拉回吸引子[J].应用数学和力学，2011，32（2）：144-157.

[3]Song Xueli，Hou Yanren.Attractors for the three-dimensional incompressible Navier-Stokes equations with damping[J].Discrete and Continuous Dynamical Systems，2011，31（1）：239-252.

[4]Simsen Jacson，Simsen Mariza Stefanello.Existence and upper semicontinuity of global attractors for p（x）-Laplacian systems[J].J Math Anal Appl，2012，388（1）：23-38.

[5]Wan Li，Zhou Qinghua.Attractor and boundedness for stochastic Cohen-Grossberg neural networks with delays[J].Neurocomputing，2012，79：164-167.

[6]Temam R.Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics[M].New York：Springer，1988.