每遇困难 问道于图可尔

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(象山市第三中学 浙江象山 315700)

每遇困难问道于图可尔

●茅映丽胡庆彪

(象山市第三中学 浙江象山 315700)

解析几何是中学数学的核心内容之一，在数学高考中占有十分重要的地位,但又是学生掌握得不太好的知识领域．因此，加强解析几何问题特征、解法规律的研究与学习，提高分析与解决问题的能力，意义十分重大．本文给出一个能迅速、明确解决解析几何题及给出较细步骤的方法——问道于图法．

所谓“问道于图法”，就是在读解析几何题的过程中或在读完题目之后，先根据题意画出一个能反映本题条件与结论的图形，然后按照生成图形的各个步骤，依次将“图形语言”翻译成“数学符号语言”，一旦翻译完毕，问题也基本解决．下面举例说明之.

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(2013年浙江省宁波市高三数学第一次模拟考试文科试题)

分析本题图形的生成步骤，如表1中的第2列所示，将各步的“图形语言”按序翻译成“数学符号语言”，如第3列所示：

表1 用“问道于图法”解决例1

说明有时没有必要把图形的生成步骤(图形语言)都一一翻译成“数学符号语言”,而只需选择其关键处加以翻译．

图1

例2如图1，已知F为抛物线C1:x2=2py(p>0)的焦点，若过焦点F的直线l交C1于点A,B，使抛物线C1在点A,B处的2条切线的交点M恰好在圆C2:x2+y2=8上.

(1)当p=2时，求点M的坐标；

(2)求△MAB面积的最小值及取得最小值时的抛物线C1的方程.

(2013年浙江省宁波市高三数学第一次模拟考试文科试题)

分析第(1)小题图形的生成步骤，如表2中的第2列所示，将各步的“图形语言”按序翻译成“数学符号语言”，如第3列所示：

表2 用“问道于图法”解决例2

x1+x2=4k,x1x2=-4，

(2)从第(1)小题的p=2推广到p>0,但成图次序依旧，可类比第(1)小题的求解而得:

x1+x2=2pk,x1x2=-p2，

(5)

接下去只要求得弦长|AB|及点M到AB之距d, 就可得到△MAB的面积S(含p与k)，再由式(5),将p用k表示, 显然可将S化成关于k的函数S=f(k), 最后求f(k) 的最小值(略).

在例1和例2的第(1)小题中，求解过程紧依其对应的作图步骤，且同步到达终点.

(1)求p与m的值；

(2)设抛物线C上一点P的横坐标为t(t>0)，过点P的直线交C于另一点Q，交x轴于点M，过点Q作PQ的垂线交抛物线C于另一点N，若MN是C的切线，求t的最小值．

(2009年浙江省数学高考文科试题)

(2)图形的生成步骤，如表3中的第2列所示,将各步的“图形语言”按序翻译成“数学符号语言”，如第3列所示：

表3 用“问道于图法”解决例3

通过例3，我们再次发现：在将“图形语言”翻译成“数学符号语言”后，离解题的终极目标只是一步之遥了.需要指出的是，有时没有必要把图形的生成步骤(图形语言)都一一翻译成“数学符号语言”, 而只需选择其关键处加以翻译即可．

我国著名数学家傅种孙教授在20世纪50年代曾经指出:“每遇困难,即问道于0可尔.”这一方面是由于数学问题中几乎处处涉及关于“0”的思索,偶有疏忽,便出差错;另一方面是因为代数问题中的许多结论由自然数“0”的运算性质所决定——问道于0可尔.因此，注重发挥数“0”的解题功能显得十分重要，笔者认为:对于解析几何题而言,应注重发挥与挖掘图形的功能．行走在解析几何解题路上，每遇困难,即问道于图可尔.