从一道高考题谈平面向量与复数的关系

2013-10-26

中学教研(数学) 2013年5期

关键词：复数实数平面

●

(兰溪市教研室浙江兰溪 321102)

从一道高考题谈平面向量与复数的关系

●沈联晖

(兰溪市教研室浙江兰溪 321102)

在高中数学中，“平面向量”和“复数”是看似无关的2块知识，前者出现在必修4，后者在选修2-2中．在平时教学中，教师一般不会将“平面向量”作为“复数”的先行组织者组织教学，更不会在学习平面向量时想到为以后学习复数埋下伏笔,在高三复习时也很少将2块内容放在一起进行比较.但2010年浙江省数学高考理科卷的第5题给我们一线教师上了很好的一课，原题如下：

试题对任意复数z=x+yi(x,y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是

( )

(2010年浙江省数学高考理科试题)

当年这道题错误率甚高，主要表现在：有些学生不会对不等式知识进行迁移和应用，看不懂|z|≤|x|+|y|；有些学生将复数运算和向量运算混淆，类比|a|2=a2=x2+y2，误认为z2=x2+y2正确；并且很多学生由于解决该题受阻而影响了考试情绪，使后面的解题方寸大乱，堪称“最险恶的容易题”.这暴露出平时教学和复习的缺失，学生没有深刻理解向量和复数的意义、计算法则，也没有将这2块知识点的共性和各自的特性梳理清晰.为此,笔者将自己在教学实践中总结出的2块知识之间的关系以及学生易混淆的知识点呈现如下，以飨读者.

1 向量与复数的区别、联系

向量有“形”的功能还表现在具有平面内2条直线的位置关系，常用的结论是：2个非零向量a与b垂直的充要条件是：a·b=0；2个非零向量a与b平行(共线)的充要条件是：b=λa，λ∈R(写成坐标形式为：设a=(x1,y1)，b=(x2,y2)，若a⊥b，则x1x2+y1y2=0；若a∥b，则x1y2-x2y1=0)．这是复数所没有的．

形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数，a为实部，b为虚部，i为虚数单位，常记作复数z=a+bi.有些学生常将复数误写成z=(a,b)，教师要时常提醒学生注意：一般2个复数只能说相等或不相等，而不能比较大小，具体可参考文献[1]；2个复数相等充要条件为：a+bi=c+di⟺a=c,b=d(a,b,c,d∈R).利用复数相等的充要条件，可以得到关于实数的方程(组)，通过解方程(组)，求出待定系数的值．

图1

向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具，运用向量方法可将几何性质的研究转化为向量的运算，使几何问题通过向量运算得到解决[2]．人教A版《数学(必修4)》“2．5．1平面几何中的向量方法”一节中的2个例题让我们领略到用向量法证明几何题的风采．复数的引入是解决实际需求和数学内部的矛盾在数系扩充中产生的．复数尽管是数，它可以用复平面上的点表示(类比实数可用数轴上的点表示),也就是复数z=a+bi(a,b∈R)可以用坐标平面上的点Z(a,b)表示，它实际上是一有序实数对．在i和j是单位正交基底的前提下，向量ai+bj可用平面直角坐标系中的点(a,b)表示，因此复数z也可用向量表示，只要以a+bi对应的点Z(a,b)为终点，以原点O为起点画向量即可，于是有如图1所示的关系[3].

因此讨论复数的运算、性质和应用时，就可以在复平面内用向量的方法进行．如：

复数z1=3+i，z2=2+i，m是实数，则|mz1-z2|的最小值为______[4]．

此题固然可用以下方法来解：

图2

又如2010年浙江省理科第5小题选项D：

2 相反向量与共轭复数

长度相等且方向相反的向量叫相反向量．如向量a的相反向量为-a，几何意义是表示2个向量的有向线段长度相等,方向相反．有了相反向量，便可以通过向量加法定义向量减法，如a-b=a+(-b)．长度为0的向量叫零向量，记作0(很多学生易错写成0，或者不分场合乱用0和0)，有a+(-a)=a-a=0(特别注意：0·a=0，但0·a=0)．长度等于1个单位的向量叫做单位向量．长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，记作a=b.