随机SIQS传染病系统的灭绝性和遍历性

赵亚男，王 宇，夏 兰，张晓颖

（1.长春大学 理学院，长春130022；2.长春汽车经济技术开发区第四中学，长春130011；3.吉林交通职业技术学院 基础部，长春130012）

0 引 言

流行病动力学通过疾病内在规律的分析预测疾病的发展趋势，给出最优控制策略.当种群中存在传染病时，经典的传染病模型（SIS模型）引入隔离后，总种群（N）分为易感个体组成的子种群（S）、已染病但未隔离个体组成的子种群（I）和已染病并被隔离个体组成的子种群（Q）三类.设被隔离者恢复后也不具有免疫力，此时相应的传染病模型称为SIQS模型.具有隔离项的传染病模型［1］为

其中：A，μ，β是正常数；γ，ε，δ和α是非负常数；A是单位时间内因出生和移民而进入易感染者S类的数量，简称输入率；μ是死亡率系数；β是双线性疾病发生率系数；γ和ε分别是从染病者类I和隔离者类Q到易感类的恢复系数；δ是隔离率系数；α是因病死亡率系数.系统（1）的基本再生数是R0＝Aβ／（μ（γ＋δ＋μ＋α））.

目前，研究随机传染病模型多数都引入参数扰动［2－4］，通过给出平衡点附近的渐近行为反映疾病的灭绝与流行.文献［5］则通过对整个系统加入随机扰动的方法研究随机传染病模型，并分析得到了即使确定性系统各变量是持久的，而随机系统却终将灭亡.

本文采用类似于文献［5］的方法，通过对系统引入白噪声干扰，得

其中：Bi（t）（t≥0）是独立的标准Brown运动；表示白噪声的强度；i＝1，2，3.系统（2）一般不存在无病平衡点和有病平衡点.本文主要探讨随机系统在相应确定性系统平衡点附近的动力学行为，在一定程度上反映疾病的流行与消失.当随机系统的扩散项是非退化情形时，给出系统存在平稳分布，具有遍历性.

设X（t）是El（l维Euclid空间）中的一个自治Markov过程，可表示为随机微分方程

假设条件：

（H1）存在具有正则边界Γ的有界区域U⊂El，具有如下性质：

1）在U及其一些邻域内，扩散阵Λ（x）的最小特征值是非零的；

1 正解的存在性和唯一性

定理1 对于任意给定的初值Y（0）＝（S（0），I（0），Q（0））∈ ℝ3＋，系统（2）存在唯一的解Y（t）＝（S（t），I（t），Q（t）），t≥0，并且该解以概率1位于ℝ3＋中.

证明：系统（2）的系数显然满足局部Lipschitz条件，从而系统（2）存在唯一的局部解Y（t）（t∈［0，τe）），其中τe是爆破时间［7］.设k0足够大，使得Y（0）的每个分量都落在区间［1／k0，k0］中.设整数k≥k0，定义停时

由伊藤公式可得

其中

用与文献［8］类似的方法可证结果成立.

2 系统（2）在无病平衡点P0附近的渐近行为

定理2 若R0≤1，且满足假设条件（H2），则系统（2）满足初值为Y（0）∈ℝ3＋的解Y（t）具有性质：

其中：

证明：令x＝S－A／μ.定义V：ℝ3＋→ ℝ＋，

其中

是正常数.利用伊藤公式，可得

其中

当满足条件（H2）时，有r1，r2，r3＞0.将式（6）从0到t积分，并对等式两边取数学期望，可得

注1 定理2表明，当白噪声的强度足够小时，系统（2）的解会围绕系统（1）的无病平衡点震动，且震动大小正比于的大小.即S受白噪声影响越小，系统（2）的解越接近系统（1）的无病平衡点.

3 系统（2）的遍历性

定理3 若R0＞1，且满足条件（H2）及

则对任意的初值Y（0）∈ℝ3＋，系统（2）存在不变分布μ（·），且是遍历的.其中

这里r1，r2，r3如定理2中定义，c1，c2，c3如式（5）定义.

证明：定义V：ℝ3＋→ℝ＋，

利用伊藤公式，可得

其中

这里λ如式（8）定义.由于条件（7）成立，因此椭圆－r1（S－S＊）2－r2（I－I＊）2－r3（Q－Q＊）2＋λ＝0全部位于ℝ3＋中.取U为包含椭圆的邻域，使得⊆El＝ℝ3＋，且当x∈ℝ3＋＼U时，LV≤－K（K是一个正常数），表明假设条件（H1）中2）满足.另一方面，存在使得对所有的（S，I，Q，）∈¯U，ξ∈ℝ3，有表明假设条件（H1）中1）满足.因此，随机系统（2）存在平稳分布μ（·），且是遍历的.证毕.

［1］Herbert H，Ma Z，Liao S.Effects of Quarantine in Six Endemic Models for Infectious Diseases［J］.Mathematical Biosciences，2002，180：141－160.

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［3］Gray A，Greenhalgh D，Hu L，et al.A Stochastic Differential Equation SIS Epidemic Model［J］.Siam J Appl Math，2011，71：876－902.

［4］ZHAO Ya－nan，JIANG Da－qing.Dynamics of Stochastically Perturbed SISEpidemic Model with Vaccination［J］.Abstract and Applied Analysis，2013，2013：1－12.

［5］Imhof L，Walcher S.Exclusion and Persistence in Deterministic and Stochastic Chemostat Models ［J］.J Differential Equations，2005，217：26－53.

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［7］MAO Xue－rong.Stochastic Differential Equations and Applications［M］.Chichester：Horwood Publishing，1997.

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