具非标准增长条件和正初始能量的非牛顿多方渗流方程解的爆破

刘 令，王国铭，谢嘉宁

（1.吉林建筑大学 基础科学部，长春130118；2.吉林大学 数学学院，长春130012；3.东北财经大学 数学与数量经济学院，辽宁 大连116025）

0 引 言

考虑如下初边值问题：

为方便，引进如下符号：

这里

设Lr（·）（Ω）表示如下可测函数空间：

其范数为

易验证Lr（·）（Ω）是Banach空间［4，6］.由范数定义有

根据文献［4，6］可知

令B1＝max｛B，m1／p｝.定义

则

1 引 理

引理1 函数E（t）关于时间变量t是非增的.

证明：由问题（1）及式（8），对函数E（t）求导得

证明：由式（5），（8）有

其中α＝‖▽um‖.易验证h（α）在区间（0，α1）上单调递增，在区间（α1，＋∞）上单调递减且h（α）→－∞，当α→＋∞时，h（α1）＝E1，其中E1，α1的定义如式（6），（7）.由于E（0）＜E1，故存在α2＞α1，使得h（α2）＝E（0）.令α0＝‖▽‖，由式（11）有h（α0）≤E（0）＝h（α2），进一步还可证明α0≥α2.

假设式（9）不成立，即存在t0＞0，使得‖▽um（·，t0）‖＜α2.由于‖▽um（·，t）‖关于时间t连续，故可选取t1＞0，使得‖▽um（·，t1）‖＞α1.进一步，根据函数h（α）的单调性，有

这与引理1矛盾.

定义 H（t）＝E1－E（t）.

引理3 对所有t＞0，均有

证明：由引理1，有H′（t）≥0，即 H（t）≥H（0）＞0，∀t≥0.根据式（8），（11）有

2 主要结果

定理1 假设r（x）满足式（2），（3），且如下条件成立：

则问题（1）的解在有限时刻爆破.

由式（8），（12），有

其中

由式（4），有

由Lr（·）＋m（Ω）⊂Lm＋1（Ω），有

又根据式（15）～（17），有

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