三维 Gel’fand－Dorfman双代数分类

祁江艳，张 钰，赵秀秀，张庆成

（东北师范大学 数学与统计学院，长春130024）

0 引言及预备知识

分类问题在代数学中应用广泛，目前已有许多研究结果，如Jacobson［1］给出了低维Lie代数的分类；Osborn［2］命名了Novikov代数，应用于Poisson结构和Hamiltonian算子中；白承铭等［3］给出了低维Novikov代数的分类；文献［4－5］给出了Novikov超代数的低维分类及一些重要性质.Gel’fand－Dorfman双代数与Hamilton对联系紧密，Gel’fand－Dorfman双代数是由Lie代数和Novikov代数在满足相容性条件下组成的，它符合某个Hamilton对［6］.在量子群理论中，二次和三次共型代数、顶点算子理论及计算机组合编码中应用广泛［7－11］.对于Gel’fand－Dorfman双代数的结构，白承铭等［12］已经给出了二维Gel’fand－Dorfman双代数的分类.由于三维Novikov代数的种类繁多、验证情况复杂，目前尚未见三维Gel’fand－Dorfman双代数的完全分类报道.本文给出它的完全分类.

本文所涉及的向量空间和代数均指在复数域ℂ上.

定义1 设L是域ℂ上的向量空间，且L中有一个双线性运算L×L→L，（x，y）→［x，y］，如果满足下列两个条件：

则称L为域ℂ上的一个Lie代数.

定义2［2］A是域ℂ上的向量空间，在A上定义双线性积（x，y）→x◦y，如果满足下列3个条件：

则称A是一个Novikov代数.

定义3［6］若（V，［·，·］）构成一个Lie代数，（V，o）构成一个 Novikov代数，如果Lie代数和Novikov代数满足相容性条件：

则称双代数结构 （V，［·，·］，o）是 Gel’fand－Dorfman双代数.

文献［1］和文献［3］分别给出了三维Lie代数和三维 Novikov代数的分类.设Li（i＝1，2，…，5）表示三维Lie代数的分类；Aj，Bk，Cl，Dm，E1（j＝1，2，…，13；k＝1，2，…，5；l＝1，2，…，19；m＝1，2，…，6）表示三维Novikov代数的分类.

1 主要结果

本文给出的三维Novikov代数的分类结果均是在去除同构情况下得到的.设e1，e2，e3为Lie代数的一组基.用o1，o2，o3，o4，o5，o6分别表示 Novikov代数对应于Lie代数基底的轮换：

定理1 由L1与任一Novikov代数组成的代数约定为第一类Gel’fand－Dorfman双代数.

证明：因为L1中任意两个基元素作用均为0，因此L1与任意一类Novikov代数都满足式（1）.例如：当ω＝e1，μ＝e2，ν＝e3时，式（1）成立.

定理2 将（Li，A1）（i＝2，3，4，5）约定为第二类 Gel’fand－Dorfman双代数.

证明：A1类Novikov代数中任意两个基元素作用均为0，故Li与A1都满足式（1），证毕.

定理3 （L2，A）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

证明：首先考虑基底之间的轮换，共有o1，o2，o3，o4，o5，o66种.然后对每种情况验证是否满足式（1）.若满足式（1），则为Gel’fand－Dorfman双代数；若不满足式（1），则不是 Gel’fand－Dorfman双代数.最后采用待定系数法并结合Lie代数的自同构验证找出的Gel’fand－Dorfman双代数的同构性.由于证明中演算过程过于繁多复杂，故本文只举一个例子，其他情况类似.

以（L2，A2）为例.由文献［1，3］知，

在（L2，A2，o1）中，当ω＝e3，μ＝e1，ν＝e2时，

所以它 不 是 Gel’fand－Dorfman 双 代 数；在 （L2，A2，o2）中，当 ω，μ，ν 分 别 取ei，ej，ek所 有 排 列（共3×3×3＝27种情况）时，式（1）均成立，所以它是Gel’fand－Dorfman双代数.同理可验证其余4种情况，可知（L2，A2，o3）不是 Gel’fand－Dorfman双代数，而（L2，A2，o4），（L2，A2，o5），（L2，A2，o6）均是Gel’fand－Dorfman双代数.最后，利用Lie代数L2的自同构易证明：（L2，A2，o2）与（L2，A2，o3）同构；（L2，A2，o5）与（L2，A2，o6）同构；（L2，A2，o2）与（L2，A2，o5）不同构.所以（L2，A2，o2）与（L2，A2，o5）是Gel’fand－Dorfman双代数.证毕.

同理可证下列定理.

定理4 （L2，C）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

注1 当l＝l1时，（L2，C13，o2）与（L2，C13，o4）同构.

定理5 （L2，D）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

1）（L2，D2，o2）；2）（L2，D3，o2）；3）（L2，D3，o4）.

定理6 （L3，A）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

注2 当l＝k＝1时，（L3，A11，o1）与（L3，A11，o3）同构.

定理7 （L3，B）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

1）（L3，B2，o1）；2）（L3，B3，o1）；3）（L3，B4，o1）；4）（L3，B5，o1）.

定理8 （L3，C）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

注3 当l＝l1，k＝k1时，（L3，C13，o1）与（L3，C13，o3）同构.

定理9 （L3，D）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

定理10 （L3，E）类型 Gel’fand－Dorfman双代数G 的分类结果为（L3，E1，o2）.

定理11 （L4，A）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

注4 当β＝β2＝0，δ＝δ2＝1或β＝0，δδ2＝1，δ2≠1时，（L4，A2，o1）和（L4，A2，o3）同构；当δδ1＝1，l＝l1时，（L4，A7，o1）和（L4，A7，o3）同构；当β1＝0时，（L4，A7，o3）和（L4，A8，o1）同构；当δ＝δ1＝1时，（L4，A9，o1）和（L4，A9，o3）同构；当δ＝δ1＝1时，（L4，A10，o1）和（L4，A10，o3）同构；当l＝1，δ＝δ1≠1时，（L4，A11，o1）和（L4，A11，o11）同构；当δ＝δ2＝1，l＝l2时，（L4，A11，o1）和（L4，A11，o3）同构；当β1＝0时，（L4，A12，o1）和（L4，A12，o3）同构.

定理12 （L4，C）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

注5 当δ＝δ1＝1时，（L4，C6，o1）和（L4，C6，o3）同构；当δ＝δ1＝1时，（L4，C7，o1）和（L4，C7，o3）同构；当δ＝δ1＝1，l＝l1时，（L4，C9，o1）和（L4，C9，o3）同构；当l＝0，δ＝δ1≠1时，（L4，C10，o1）和（L4，C10，o11）同构；当δ＝δ2＝1，l＝l2时，（L4，C10，o1）和（L4，C10，o3）同构；当δ＝δ1＝1，l＝l1时，（L4，C12，o1）和（L4，C12，o3）同构；当l＝k＝l1，δ＝δ1≠1时，（L4，C13，o1）和（L4，C13，o11）同构；当β1＝0时，（L4，C14，o1）和（L4，C14，o3）同构；当β1＝0，l＝l1时，（L4，C15，o1）和（L4，C15，o3）同构；当β＝0时，（L4，C16，o1）和（L4，C16，o3）同构；当β＝0时，（L4，C17，o1）和（L4，C17，o3）同构.

定理13 （L4，D）类型Gel’fand－Dorfman双代数G的分类结果如下：

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