用Yangian代数解除Rb金属原子简并态

张志颖，苟立丹，白端元，周成城，肖洪亮

(1.长春理工大学理学院，长春130022;

2.长春理工大学电子信息工程学院，长春130022)

利用Yang-Baxter方程可研究量子可积问题.当其解为有理解时，它是无周期的，对应于Yangian代数［1-5］.Yangian代数是Hopf代数的一种变形，是比Lie代数更大的无穷维代数，是李代数的子代数，其物理基础为量子可积的统计模型［6-12］.Yangian代数本质是无穷维代数，由有限个生成元I和J以如下方式生成:

其中:I为总角动量，遵循Lie代数sl(2)对易关系;J(J+，J-，J3)为张量;a和b为任意参数.集合{I，J}形成关于sl(2)的Yangian代数，记为Ysl(2).Ysl(2)遵从如下独立对易关系:

文献［13-21］给出了Yangian代数的物理意义及应用，如运用Yangian代数分析可积模型的对称性及利用Yangian算子作为升降算子实现系统本征态间的跃迁.本文利用Yangian算子，构造出新的算符，该算符可描述不同量子态间的跃迁，将其作用于系统简并的本征态上，可实现能级劈裂，从而达到解除简并态的目的.

1 Rb金属原子在Hamilton系统中的反常简并及本征态

在浓87Rb蒸汽实验中，有少量成分形成Rb2，其外层电子形成自旋衰减形式(spin-dimmer)，当外加恒磁场为特定值时，Zeeman效应产生的谱分裂消失.该Hamilton系统可表示为

式(2)当x=±1时出现简并，H存在2K+1个对应同一个本征值的本征函数，即系统为2K+1重简并［22-23］.

将Hamilton量写成一般形式:

其中:L1为轨道角动量;L2为自旋角动量.于是，可定义本征态为

其中 m=j1+1，j1-1，…，-j1，其简并度为2j1+1.

当λ'=λ-时，波函数为

其中 m=j1，j1-1，…，-(j1+1)，其简并度为2j1+1.

2 解除系统简并态

引入由Yangian生成元组成的算符H1=J+J-和H2=J-J+.其中

时，整个体系的Hamilton量变为H=H0+H1和H=H0+H2.

2×式(8)-式(7)-式(9)可得

将m和j1的数值代入式(10)，并由计算机软件计算可得 u1，u2，R的解.当 j1=1，2，3时，u1，u2，R和u1-u2的值列于表1.

2×式(12)-式(11)-式(13)可得

当 j1=1，2，3 时，u1，u2，R 和 u1-u2的值列于表2.

表1 对 H1=J+J-，当 λ'=λ+时，u1，u2，R 和 u1-u2的值Table 1 Values of u1，u2，R，u1-u2with H1=J+J-and λ'=λ+

2×式(17)-式(16)-式(18)可得

当 j1=1，2，3 时，u1，u2，R'和 u1-u2的值列于表3.

表2 对 H1=J+J-，当 λ'=λ-时，u1，u2，R 和 u1-u2的值Table 2 Values of u1，u2，R，u1-u2with H1=J+J-and λ'=λ-

表3 对 H2=J-J+，当 λ'=λ+时，u1，u2，R'和 u1-u2的值Table 3 Values of u1，u2，R'，u1-u2with H2=J-J+and λ'=λ+

2×式(21)-式(20)-式(22)可得

当 j1=1，2，3 时，u1，u2，R'和 u1-u2的值列于表4.

表4 对 H2=J-J+，当 λ'=λ-时，u1，u2，R'和 u1-u2的值Table 4 Values of u1，u2，R'，u1-u2with H2=J-J+and λ'=λ-

综上所述，本文以Rb金属原子为模型，通过分析可知，H0=-gL1·L2+λL32的本征态为2j1+1重简并.为使简并的能级发生劈裂，引入了Yangian代数，由Yangian生成元构造了新算符H1=J+J-和H2=J-J+，使其作用于上述模型简并的本征态上，为保证H0的本征态仍为H1和H2的本征态，可得u1，u2，R和R'的限制条件，从而达到消除简并的目的.

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