一种求解最小负荷裕度的混合算法

张 峰 ，董晓明 ，梁 军 ，韩学山 ，孙 华 ，刘 宁

（1.山东大学 电气工程学院，山东 济南 250061；2.山东劳动职业技术学院 电气及自动化系，山东 济南 250022；3.山东德州供电公司，山东 德州 253008）

0 引言

连续潮流［1-14］CPF（Continuation Power Flow），从已知潮流断面出发，按照某一预先设定的模式增加发电与负荷，计算负荷所能达到的静态电压稳定极限功率（下文称为负荷裕度），能有效识别鞍节分岔点 SNB（Saddle Node Bifurcation）和极限诱导型分岔 LIB（Limit Induced Bifurcation），同时计及无功调节设备的动作，在静态电压稳定分析领域获得广泛的应用。

假设发电增长模式给定且不考虑有功限制，则负荷裕度仅与负荷增长模式有关。文献［15］则利用SNB处负荷裕度与负荷增长模式的灵敏度，修正CPF负荷增长方向，计算SNB边界的最小负荷裕度。上述方法仅针对SNB边界进行了分析，文献［16］在文献［17］的基础上进一步计及了LIB，综合计及SNB与LIB成为求取最小负荷裕度的算法要求。文献［18］从一个小节点算例中得到SNB边界非凸的结论，针对非凸问题的全局寻优能力成为评价算法优劣的另一重要因素。

考虑到CPF算法在类型的识别与计及无功设备投切等方面的优势，以及模拟退火粒子群优化［19］SAPSO（Simulated Annealing Particle Swarm Optimization）算法良好的全局寻优能力，本文在分别对CPF以及SAPSO算法进行改进的基础上，提出了一种混合算法。在CPF模型中，增加负荷增量功率因数作为负荷增长方向的约束条件；计及无功补偿设备的投切；提出一种LIB的识别算法；改进步长控制策略。在SAPSO算法中，采用变权重系数［19］与变学习因子［19］策略；提出基于功率增长方向夹角的早熟判据以及一种随机变异算法。在程序实现方面，采用多线程并行技术，充分利用计算资源提高计算速度。算例分析表明了本文研究的有效性。

1 CPF扩展潮流模型

CPF扩展潮流方程如式（1）所示：

其中，λ反映功率增长水平；n为除平衡节点外的节点总数；PBi、QBi为注入节点i的有功与无功功率；PGi、QGi为注入节点i的发电机有功以及无功功率；PLi、QLi为注入节点i的负荷有功以及无功功率；U和θ分别为各节点电压幅值和相角组成的向量；P′Gi为节点 i发电机有功增长比例；S′Li与 φ′Li分别为节点 i负荷视在功率增长比例及负荷增量的功率因数角。

2 最小负荷增长模式

假设发电增长比例给定，功率增长模式仅由负荷增长比例确定，以负荷裕度最小为目标的优化模型如下所示：

其中，λcr为分岔点对应的λ值；目标函数h（·）表示负荷裕度；φ′Limax与 φ′Limin为负荷增量的功率因数角上、下限值。

为消除等式约束，对优化模型作如下转化：

式（4）被式（7）所示决策量替代。

目标函数转换为：

3 CPF计算过程

CPF扩展潮流方程式（1），可简写为如下形式：

3.1 步长控制策略

采用切线预测方法计算预测点：

其中，W（i）为前一次校正过程收敛的潮流解；dW（i）为切线预测向量；α为步长控制因子。

本文在文献［11］的基础上，提出如下步长控制策略：

其中，C（·）表示文献［11］中的算法，αmin为 α 下限值。参数ε如式（14）所示。

其中，v 为 PV 节点个数，Qimax、Qi、Qi（0）分别为 PV 节点i无功的上限值、当前值、初始值。

3.2 LIB的识别

式（12）中切向量的计算需要求解如下方程：

其中，e（k）是第k个分量为1、其余分量为零的向量，可根据文献［11］中的方法计算k值。常规潮流方程雅可比矩阵J为的子阵，如式（16）所示。

其中，lij为下三角矩阵中元素，uij为上三角矩阵中元素。

J的行列式可由下式得到：

当PV节点因无功限制转换为PQ节点后，J的维数增加，特征值数量增加。若出现正特征值，则转换前后J的行列式如式（19）所示，出现LIB。

其中，J（i-1）、J（i）分别为 PV 节点转换为 PQ 节点前、后潮流方程的雅可比矩阵。

3.3 无功补偿设备的投切

系统运行时，一般根据母线电压及功率因数是否越限调节无功补偿装置。可按如图1所示流程修正节点导纳矩阵。

图1 CPF流程图Fig.1 Flowchart of CPF

4 SAPSO算法

对于PSO的每个粒子，被优化函数式（8）所决定的最小负荷裕度被称为粒子的适应值，如式（20）所示。

粒子l在m维空间的位置及其飞行速度可表示为式（21）与式（22）。

搜索过程中，粒子l所经历的最好的位置用式（23）表示。在总数为q的群体到目前为止发现的全局最优位置，用式（24）表示。

PSO算法按式（25）生成粒子d+1次迭代过程的新位置和速度。

其中，w为权重系数，c1和c2为学习因子，r1和r2为服从［0，1］上均匀分布的随机数。

4.1 模拟退火操作

按式（26）定义适配值向量。

其中，T为按式（27）计算的温度系数。

其中，β为退火常数。

根据式（28），选择粒子l的当前位置Xl替换式（25）中的Pg，计算粒子新的位置和速度，其中r是服从［0，1］上均匀分布的随机数。

在计算初始阶段，模拟退火具有概率突跳的能力，有效避免陷入局部最优；在计算后期随着温度的下降，主要围绕在全局最优粒子附近进行计算。

4.2 变权重系数与变学习因子

为提高算法的全局寻优能力，本文采用了式（29）所示的线性递减权重方法以及式（30）所示的变学习因子算法。

其中，wmax和wmin分别为权重系数的上、下限值，cmax和cmin分别为学习因子的上、下限值，dmax为粒子群最大迭代次数。

4.3 约束条件的处理

如果粒子l位置超越限值，则保留Pl，按照式（31）所示，将越限分量设为上限（或下限）值，同时将对应的粒子飞行速度分量设定为0。

其中，xjmax和 xjmin对应式（3）中的 φ′Limax与 φ′Limin。

4.4 对于早熟的处理

通过式（32），可以计算出与向量X相对应的向量 Y，如式（33）所示：

当式（34）所示指标ρ大于限值ρmax时，则认为出现早熟。式（34）中，Yl和 Yg分别对应 Xl和 Pg。

若出现早熟，则对各个粒子生成服从［0，1］均匀分布的随机数rl，若rl满足式（35）则保留该粒子的个体最优解，重新随机生成粒子l的位置和速度。

4.5 并行计算的处理

在PSO算法每次迭代过程中，都需要对各粒子进行适应值计算，如图2计算流程所示。常规方法是顺序循环执行粒子的计算任务，而本文在程序设计时利用了各粒子的计算任务相对独立的特点，为各粒子的计算分别建立线程，由操作系统选择空闲CPU并发线程计算，各线程以共享内存的形式分享粒子的个体经验和群体经验，可以有效提高计算资源的占用，节省计算时间。

图2 SAPSO流程图Fig.2 Flowchart of SAPSO

5 算例分析

5.1 环境参数

程序的编写、调试与运行的软、硬件环境如表1所示。

表1 算例的软、硬件环境Tab.1 Software and hardware environment of case study

5.2 算例1

图3为IEEE5节点测试系统，图中所有数据均为标幺值（系统基准功率100 MW）。

图3 IEEE 5节点测试系统接线图Fig.3 Connection diagram of IEEE 5-bus test system

节点 5是平衡节点；PV节点4的有功功率保持恒定，无功功率上限1.8 p.u.；并联电容器 C1，容抗绝对值0.018p.u.，初始状态为切除。功率因数角约束如式（36）所示，其余计算参数如表2所示。

表2 计算参数Tab.2 Calculation parameters

应用本文混合算法，反复计算5次的平均耗时为4.6 s，算例表现出较好的收敛性，目标值随迭代次数的增加不断逼近最优值，如图4所示，图中最小负荷裕度为标幺值。

最小负荷裕度及其对应的负荷节点功率增量如表3所示，表中数据均为标幺值。

表3 负荷节点有功和无功增量Tab.3 Active and reactive power increments of load buses

比较并行计算方法和常规计算方法的运算速度及其对多核CPU的平均占用率，如图5所示。

由于采用并行策略，充分利用冗余的计算资源，运算速度获得了明显的提升。

5.3 算例2

图6所示系统，PV节点有功都恒等于初始值，负荷有功增量仅由平衡节点承担，利用本文方法进行最小负荷裕度分析。

图5 CPU平均占用率Fig.5 Average rate of CPU occupancy

图6 IEEE 30节点测试系统接线图Fig.6 Connection diagram of IEEE 30-bus test system

计算时间 8分 17秒，PV 节点 2、5、8、11和 13由PV节点转换为PQ节点，采用本文方法对其进行识别，均未见LIB。最终计算得到最小负荷裕度为0.5932 p.u.（临界点类型为 SNB）。

由于篇幅限制，表4中仅列出负荷变化较多的部分节点的计算结果，表中数据均为标幺值。可见，以节点29与节点30为首的负荷增长模式，是计及静态电压稳定的最“危险”增长模式。

表4 最小负荷裕度对应的负荷变化Tab.4 Load variation along with minimum load margin

6 结论

SAPSO算法是一种实用性较强的随机搜索进化算法，能有效地避免搜索过程陷入局部极值，具有较好的全局寻优能力；CPF算法模拟电力系统负荷增长的过程，可以有效识别各种分岔类型以及计及无功设备的动作。本文有机结合2种算法的优势，混合算法表现出良好的收敛性，并行计算充分利用计算资源，最大限度提升算法的应用性能，算例验证了本文算法的有效性。