模拟岩石应变软化变形全过程的统计损伤本构模型研究

汪辉平，曹文贵，王江营，张 超

（湖南大学岩土工程研究所，湖南 长沙 410082）

岩石应变软化变形全过程模拟方法研究长期以来都是岩土工程领域中的一个重要课题，近年来，随着统计损伤理论［1～4］的成功引入，其相关研究随之取得了较大的进展，Kraicniovic 等［1］、唐春安等［3］、曹文贵等［5～6］、陈忠辉等［7］基于 Lemaitre 应变等价理论［8］，引入岩石微元强度的概念，并利用其服从随机分布的特性，建立了可反映岩石应变软化的统计损伤本构模型，这些模型能较好地反映岩石应变软化的特性，但是，基于Lemaitre应变等价理论的损伤模型认为岩石损伤的根本原因是岩石内部不断有新的空洞形成，而这些空洞不具备任何承载力，由此可知，岩石在完全损伤后就不再具备任何承载能力，这显然与实际情况是不相符合的。为此，沈珠江等［9］和曹文贵等［10～11］认为岩土材料受载损伤后，损伤部分并不会立即丧失所有的承载能力，由此建立的损伤模型能够反映岩石完全损伤后仍具有一定承载能力的特性，但其承载力会随着变形的发展而逐渐消失，那么当岩石的变形很大时，岩石最终会失去所有的承载能力，而实际情况是岩土材料完全损伤后，其承载能力通常会维持在一定大小，不再随着变形的发展而产生明显变化。此外，上述岩石统计损伤本构模型，虽然在一定程度上可以模拟应变软化岩石变形过程中的某些特性，但是没有考虑岩石变形过程中的体积变化，不能反映岩石的初期压缩特性及初始孔隙率对变形的影响，将其用于模拟岩石变形全过程显然仍存在不足。

为此，本文在前人研究成果的基础之上，首先从岩石变形全过程特点及变形力学机理研究入手，针对现有岩石统计损伤本构模型的局限性与不足，通过考虑岩石变形过程中空隙或体积变化的影响，进一步对岩石损伤模型展开深入的研究，进而建立能够充分反映岩石残余强度特性和体积变化的新型岩石统计损伤本构模型，以期完善岩石变形全过程模拟的研究方法与理论。

1 岩石应变软化变形破坏全过程特征

目前，国内外已有许多学者采用刚性三轴试验机对岩石变形破坏全过程进行了大量的试验研究［12，13］，普遍认为岩石应变软化变形全过程可分为如图1所示的5 个阶段［13］:

(1)第一阶段为空隙压密阶段(OA)，随着应力增加，岩石内部空隙被逐渐压密，其变形模量也随之有所增加。

(2)第二阶段为线弹性阶段(AB)，岩石应力应变呈线弹性关系，弹性模量E不发生变化。在此阶段岩石内部不会产生新的裂隙或空洞，即尚未产生损伤。

(3)第三阶段为应变硬化阶段(BC)，当应力超过了岩石屈服极限强度(即B点)以后，其内部便逐渐开始产生损伤，同时岩石的变形模量也会随之不断降低，直至为零。

(4)第四阶段为应变软化阶段(CD)，当应力超过了岩石极限强度(即C点)以后，随着变形的继续增加岩石强度逐渐丧失，直至达到残余强度。

(5)第五阶段为完全破坏阶段(D点以后)，随着变形的继续发展，岩石内部形成了贯穿的宏观断裂，断裂面之间基本上不再具有粘聚力，岩石依靠破裂面之间的摩擦力来承担外部荷载，其大小一般会维持在一个稳定值(即残余强度)，而不会随变形的增加而变化。

图1 岩石变形破坏全过程Fig.1 Full deformation process of rocks

上述5个阶段即为理论上比较典型的岩石变形破坏全过程。为了建立可以模拟岩石应变软化变形全过程的本构模型，必须能够正确反映上述各个阶段的变形特征，为此，下面将根据其变形阶段特征来探讨如何建立可反映岩石应变软化变形全过程的本构模型。

2 考虑体积变化及残余强度的新型岩石损伤模型

为建立更合理的岩石损伤模型，本文首先作出如下假设:

(1)岩石内部存在大量随机分布的孔隙、裂隙等空隙，其力学性质在宏观上表现为各向同性。

(2)在荷载作用下的岩石可以抽象为如图2所示的空隙、未损伤与损伤材料三部分所构成，微元截面积为A，空隙部分面积为A0，未损伤和损伤部分的截面积分别为A1和A2，其中，岩石的空隙部分不具有任何承载能力。

(3)岩石损伤即意味着破坏，所受应力迅速达到残余强度，也就是说损伤部分材料所受应力为残余应力。

图2 岩石微观应力分析Fig.2 Analysis of microcosmic stress for rocks

(4)岩石内部产生损伤的部位是完全随机的，因此，当岩石开始产生损伤后，损伤与未损伤部分会充分混杂在一起，根据材料的变形协调关系可知，无论在何种状态下岩石的表观应变εi、未损伤部分的应变ε'i以及损伤部分的应变均满足下式:

基于上述几点假定，即可建立出新型的岩石损伤模型为:

n——岩石空隙率(包括已有初始空隙和由于损伤而新形成的空隙)。

如果定义岩石的损伤变量D=A2/(A1+A2)，则根据式(2)～(4)可得:

式(5)便是本文建立的新型岩石损伤模型，其中n可以反映岩石在变形过程中空隙率的变化，而岩石颗粒不可压缩，因此，空隙率的变化即是体积变化的一种具体体现。分析可知，一方面，当岩石完全损伤即D=1时，σi=(1－n)，因为岩石在变形过程中孔隙率n的变化极微，而为岩石残余强度，一般为常数，因此，岩石完全损伤后的岩石强度σi几乎不随变形增加而变化。另一方面，由于岩石的体积变化实际上是岩石内部孔隙率的变化，因此，本文建立的损伤模型既能够反映岩石变形过程中体积的变化，同时还可以反映岩石残余强度变形阶段的变形过程特征，与同类型损伤模型相比更加符合工程实际。

为了利用式(5)建立既能反映岩石变形过程中体积的变化，又能反映岩石残余强度变形阶段特征的岩石应变软化变形全过程本构模型，接下来还需要建立空隙率n、残余强度以及损伤变量D的确定方法。

3 岩石统计损伤本构模型的建立

由图1可知，岩石在尚未发生损伤的时候其应力应变关系服从广义胡克定律，因而对于未损伤部分岩石有:

式中:σ'i(i，j，k=1，2，3)——未损伤部分岩石所承担的有效应力；

E'，μ'——岩石中未损伤部分(不含空隙)的弹性模量与泊松比。

利用文献［14］的研究成果，可建立岩石微观与宏观弹性模量和泊松比之间的关系:

式中:E、μ——岩石宏观或名义弹性模量与泊松比。

由文献［15］的研究成果有:

式中:n0——岩石初始空隙率。

利用式(1)可将式(6)变为:

本文所建立的模型是基于常规三轴试验岩石应变软化变形破坏全过程，因此，可以认为σ2=σ3、σ'2=σ'3及 ε2=ε3，则(16)式可写为:

利用文献［14］、［15］，可得到岩石受载后体积变化εv、空隙率n变化的关系式为:

利用 ε2= ε3，由式(19)、(20)可得:

由(17)、(18)式可得:

式中:cr、φr——岩石完全损伤后的残余粘聚力与残余摩擦角。

再由式(5)可得:

将(23)式代入(28)式，将(28)式代入(27)，然后再将(27)和(22)式代入(5)式可得:

式(29)即为本文建立的可模拟岩石应变软化变形全过程的本构模型，对于该模型还需要进一步建立岩石损伤变量D的确定方法，即建立岩石的损伤演化模型。

若想采用统计损伤理论来建立岩石的损伤演化模型，其核心内容在于如何正确度量岩石微元强度，为此，本文引进文献［16］的相关思路，可得到岩石微元强度F的度量方法为:

式中:α、k0——与岩石屈服时的粘聚力cy和内摩擦角φy有关的常数。

将式(22)、(23)代入式(34)，则:

式(37)即为本文建立的可以考虑岩石体积变化的微元强度F度量方法。如果假定岩石微元强度F服从Weibull分布，同时考虑岩石只有在受力超过了损伤阈值时才会产生损伤［16］，便可得到本文的岩石统计损伤演化模型为:

式中:m、F0——Weibull分布参数。

于是，将式(38)代入式(29)即可得到完整的岩石应变软化变形全过程本构模型。在确定模型参数m和F0时可以参照文献［6］中的有关思想，从而建立其与围压σ3之间关系式:

拟合的相关系数分别为0.9869和0.9992，拟合效果良好。

4 实例分析与讨论

为了验证本文提出的岩石应变软化损伤统计本构模型及其参数确定方法的合理性，引用文献［12］的资料，该岩石为砂岩，根据试验曲线进行数据处理分析可得该岩石的常规力学参数为:E=27.5GPa，μ=0.25；屈服时的内摩擦角φy=42.7°，粘聚力cy=17.12MPa；残余内摩擦角φr=51.2°，残余粘聚力cr=0.42MPa。

(1)取n0=0.0，对比本文建立的模型及文献［15］的模型，通过分析计算，并与试验曲线进行比较，其结果见图3，由此可以看出，同文献［15］模型理论曲线相比，本文模型能很好反映岩石应变软化特性和岩石破坏后残余强度特征，与实测曲线吻合良好。

图3 试验与理论曲线比较Fig.3 Comparison between test and theoretical curves

(2)本文针对文献［12］围压为σ3=8.0MPa的情况下，假定初始空隙率不为0时，利用本文模型分析了岩石应力应变曲线的变化规律，分析结果如图4所示，由此可以看出:①本文模型能体现岩体压缩的过程，即空隙压密阶段，体现在σ1～ε1曲线在承载初期向下凹的趋势，这是因为岩体在承担荷载作用时，内部空隙被压缩而导致变形模量增大(即刚度增加)，与实际情况一致；②随着空隙率的增加，σ1～ε1曲线在加载初期向下凹的趋势越明显，岩体破坏后的残余强度越小，说明岩体初始空隙率越大，变形初期越容易压密，岩体完全损伤后的残余强度越小，这同样与实际是相吻合的。

图4 不同初始空隙率下的应力应变曲线Fig.4 Stress-strain curves with different initial ratio of voids

5 结论

(1)针对现有岩石统计损伤模型的不足，建立了可以反映岩石变形过程中的体积变化及破坏后仍具有残余强度特征的新型岩石损伤模型，该模型较现有同类模型更能合理地揭示岩石变形与损伤的力学机理与特征。

(2)建立了既可以反映体积或空隙变化影响、又能够反映破坏后仍具有残余强度的模拟岩石应变软变形全过程的损伤统计本构模型及其参数确定方法，该模型不仅参数少，而且，物理意义明确，与同类型模型相比更加合理且便于工程应用。

［1］Krajcinovic D，Silva M A G.Statistical aspects of the continuous damage theory［J］.International Journal of Solids and Structures，1982，18(7):551 －562.

［2］L M Kachnov.Effective elastic properties of cracked solids:Critical Review of Some Basic Concepts［J］.Applied Mechanics Reviews，1992，45:304 －335.

［3］唐春安.岩石破裂过程中的灾变［M］.北京:煤炭工业出版社，1993.［TANG C A.Catastrophe in rock unstable failure［M］.Beijing:Chinese Coal Industry Press，1993.(in Chinese)］

［4］Krajcinvoic D.Damage mechanics:accomplishments，trends and needs［J］.International Journal of Solids and Structures，2000，37:267 －277.

［5］曹文贵，方祖烈，唐学军.岩石损伤软化统计本构模型之研究［J］.岩石力学与工程学报，1998，17(6):628－633.［CAO W G，FANG Z L，TANG X J.A study of statistical constitutive model for soft and damagerocks ［J］. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，1998，17(6):628 －633.(in Chinese)］

［6］曹文贵，赵明华，刘成学.基于Weibull分布的岩石损伤软化模型及其修正方法研究［J］.岩石力学与工程学报，2004，23(19):3223－3231.［CAO W G，ZHAO M H，LIU C X.Study on the model and its modifying method for rock softening and damage based on weibull random distribution［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics Engineering，2004，23(19):3223－3231.(in Chinese)］

［7］陈忠辉，傅宇方，唐春安.岩石破裂声发射的围压效应［J］.岩石力学与工程学报，1997，16(1):65－70.［CHEN Z H，FU Y F，TANG C A.Confining pressure effect on acoustic emissions during rock failure［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，1997，16(1):65 －70.(in Chinese)］

［8］J Lemaitre.A continuous damage mechanics model for ductile materials［J］.J.Eng.Mater.Tech.，1985(107):83－ 89.

［9］沈珠江.结构性粘土的弹塑性损伤模型［J］.岩土工程学报，1993，15(3):21 －28.［SHEN Z J.An elasto － plastic damage model for cemented clays［J］.Chinese Journal of Geotechnical Engineering，1993，15(3):21－28.(in Chinese)］

［10］曹文贵，张升，赵明华.软化与硬化特性转化的岩石损伤统计本构模型之研究［J］.工程力学，2006，23(11):110－115.［CAO W G，ZHANG S，ZHAO M H.Study on a statistical damage constitutive model with conversion between softening and hardening properties of rock［J］.Engineering Mechanics，2006，23(11):110－115.(in Chinese)］

［11］曹文贵，张升.基于新型损伤定义的岩石损伤统计本构模型探讨［J］.岩土力学，2006，27(1):41 －46.［CAO W G ZHANG S.Study on statistical damage constitutive model of rock based on new definition of damage［J］.Rock and Soil Mechanics，2006，27(1):41－46.(in Chinese)］

［12］Yumlu M，Ozbay M U.Study of the behaviour of brittle rocks under plane strain and triaxial loading conditions ［J］. International Journal of Rock Mechanics and Mining Sciences and Geomechanics Abstracts，1995，32(7):725 － 733.

［13］高磊.矿山岩石力学［M］.北京:机械工业出版社，1987.［GAO L.Rock Mechanics［M］.Beijing:Mechanical Industry Press，1987.(in Chinese)］

［14］曹文贵，李翔，刘峰.裂隙化岩体应变软化损伤本构模型探讨［J］.岩石力学与工程学报，2007，26(12):2488－2494.［CAO W G，LI X，LIU F.Discussion on a Strain Softening Damage Constitutive Model for Fissured Rock Mass［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2007，26(12):2488－2494.(in Chinese)］

［15］曹文贵，赵衡，张玲，等.考虑体积变化影响的岩石应变软硬化损伤本构模型及参数确定方法［J］.岩土力学，2011，32(3):647－654.［CAO W G，ZHAO H，ZHANG L，et al.Strain Softening and Hardening Damage statistical Constitutive Model for Rock with Considering Effect of Volume Change and Its Parameters Determination Method［J］.Rock and Soil Mechanics，2011，32(3):647 －654.(in Chinese)］

［16］曹文贵，赵衡，张玲，等.考虑损伤阀值影响的岩石损伤统计软化本构模型及其参数确定方法［J］.岩石力学与工程学报，2008，27(6):1148－1154.［CAO W G，ZHAO H，ZHANG L，et al.Damage statisticalsoftening constitutive model for rock considering effect of damage threshold and its parameters determination method［J］.Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering，2008，27(6):1148 －1154.(in Chinese)］