气弹耦合作用下平板的稳定性

宋志勇

(黑龙江科技大学 理学院，哈尔滨 150022)

0 引言

流－固耦合问题是工程中重要的研究课题之一，尤其在机械、航空、建筑以及管道输送等领域广泛存在。空气压力与固体结构弹性力的相互耦合作用称之为气弹耦合，比较典型的问题是，壁板类结构在几何和物理参数一定及气弹耦合作用下，不仅存在复杂的分岔问题，而且，其运动形态也会出现屈曲和颤振等失稳现象，对结构安全构成了严重威胁。国内外众多学者对此进行了研究，Dowell[1－2]分析了采用Galerkin方法离散化后的系统，得到了包括混沌行为在内的许多有意义的成果;Holmes[3]采用动力系统理论对此系统进行了有限维和无限维的定性分析，在一个退化平衡点附近发现了一种余维数二的分岔;金基铎[4]研究了拟定常流中二维板在某一类退化点附近的动力学行为，发现此系统可发生两种不同类型的余维数二分岔现象;张云峰等[5－8]重点研究了热黏弹性对系统分岔影响以及迟滞特性。气弹耦合振动是复杂的非线性问题，目前，对特殊退化点附近特别是余维数较高情况下的分岔现象及稳定性问题研究尚少。笔者在前人研究基础上，针对两端简支平板的气弹耦合振动模型，运用非线性动力学理论，研究系统在非双曲退化点附近，当余维数为三时的分岔特性以及可能的失稳行为，并分析平板预载荷和气体压强系数与系统稳定性之间的关系。

1 动力学方程

考虑两边简支矩形薄板两侧有水平方向的预载荷作用，仅当平板上方有高速气体流过时，平板受到的气动力和结构弹性力影响产生气弹耦合振动，如图1所示。忽略重力影响，初始板两侧的静态压力差为零。设平板发生横向弯曲变形和轴向拉伸变形，考虑到弯曲变形会引起附加非线性轴向拉力，板材料本构关系遵循Kelvin－Voigt黏弹性模型。文中设曲变形为小变形，且仅考虑结构非线性。设W为板横向位移，d为厚度，l为板长，ρm为密度，E为弹性模量，H为黏性系数，ν为泊松比，F0为预载荷，ρA为空气的密度，v为流速。认为气压力作用规律符合拟定(线性)气动规律[1]，则气压力FP计算关系式可写为

式中:M——马赫数。

运用达朗伯原理建立气弹耦合平板动平衡方程[4]，并整理得无量纲化动力学方程:

式中:w——板的位移，w=W/d;

图1 平板气弹耦合力学模型Fig.1 Model of aeroelastic coupling panel

f——预载荷系数，f=(F0l2)/(D π2);

ρ——气动压强系数，主要受气体流速控制，ρ=(ρAv2l3)/(D(M2－1)1/2);

由于式(1)为高阶偏微分方程，故须进行离散化处理，文中采用Galerkin法对式(1)进行离散化，即令为关于时间变量 τ的系数，取n=2足以反应系统基本的动力学行为[1]，则式(1)离散为

其中，参数μ =(f，ρ，α，δ)，向量X=(x1，x2，x3，x4)T≡

2 稳定性与分岔分析

对于平板气弹耦合的动力学线性方程组(式(2))，文中研究其在弱非线性条件下预载荷、气体压强等因素对平板系统失稳的影响，以及某类特殊退化点附近的分岔和稳定性。

2.1 平板动力学系统的稳定性

根据李雅普诺夫稳定性理论，方程(2)的线性化矩阵特征值决定了其动力学行为，在零平衡点下其矩阵特征值方程为

若预载荷为拉伸载荷，即f＞0，根据Routh－Hurwitz判据可知，qi＞0(i=1，2，3，4)，q1q2－q3＞0，则系统渐进稳定。若预载荷f为非正数，式(2)中线性化矩阵特征值会出现零特征值情况，系统稳定性问题变得复杂化，同时会出现分岔现象，此时必须确定非线性项。其中，特征值零根充要条件为q4=0，反之则无零实部根。式(2)的线性化矩阵具有两个零特征值时，要求q4=0和q3=0。

由于式(2)的线性化矩阵特征值受参数f、ρ、α、δ控制，因而，根据上述条件系统失稳临界压强或流速公式为

2.2 退化点附近稳定性和分岔

当参数 μ0=(f0，ρ0，α，δ)时，可使 A(μ0)具有两个零特征值，在存在两个共轭复特征值的情况下，系统受到微小扰动，即 μ = μ0+(f－ f0，ρ－ ρ0，0，0)，反映预载荷的参数f和气压力参数ρ有改变时，系统在退化点附近有复杂动力学行为。因此，运用中心流形理论和正规形理论对式(2)降维简化处理，有

式中:θ——μ、δ的函数;

ζ1、ζ2、ζ3——开折参数，依赖于参数 f、ρ。

图2 平衡点数量分岔Fig.2 Bifurcation diagram of number of equilibrium points

将平衡点分别代入式(4)的线性化矩阵。系统在各平衡点附近的动力学行为由相应特征矩阵的特征值决定。当系统参数引起矩阵 J1、J2，3、J4，5的特征值改变，系统的动力学行为将发生变化。

显然其动力学稳定判别式为

其特征值只有一种情况，即属于不稳定鞍点，其中，

其中，

显然其动力学稳定判别式为

当满足式(6)、(7)时，系统趋于稳定。式(5)～(7)能独立判断围绕各自平衡点系统的动力学稳定性，当扰动较大时，需联合三个判别式分析。在分岔参数 ζ1、ζ2、ζ3共同控制下，会出现比较复杂分岔和稳定性变化。

考虑ζ3为正数，根据式(5)～(7)得到系统围绕全部平衡点的稳定性分岔图，如图3所示。

图3 系统稳定性分岔区域Fig.3 Regional bifurcation stability of system

3 数值分析

3.1 退化点附近稳定性

根据图2和式(5)～(7)分析系统受到微小扰动后的动力学行为，可以发现，图3中参数区域3～6、13 ～15 运动状态趋于稳定;1、2、7 ～11、16 区域相流将流出局部，系统发生失稳;17参数区域在^y1附近稳定，远离^y1局部范围内系统失稳会流出，将出现极限环，即出现周期性运动，且随着α的增大，失稳的参数区域将扩展。

在各参数区域分别选取参数，采用MATLAB软件对式(3)进行数值计算。图4a、4b分别为第11、13参数区域系统动力学相图，其相流结构表明，系统受到微小扰动后，将流出局部，平板系统可能发生屈曲。图4c、4d分别为第12、17参数区域系统动力学相图。图4c的相流结构表明，系统微小扰动后，将趋向稳定点，即平板系统会趋于静止;图4d的相流结构表明，系统在平衡点^y1附近趋于一个稳定点，远离^y1的局部范围内流向一个稳定的极限环，即平板系统将发生颤振。

3.2 系统失稳临界速度及预载荷

考虑到系统黏弹性系数等为小量，采用MATLAB软件对式(2)和(3)进行数值计算，取(α，δ)=(0.1，0.1)，当初始气体流速为零时，压强为零，平板不会产生失稳。随着流速增加，压强也增大，在适当预载荷等参数条件下出现失稳行为。图5中，各曲线和零轴线交点为系统具有零特征情况时对应的临界气压强，根据前述分析，此时平板存颤振和屈曲行为，且随着预压载荷增大而增加。

式(2)具有零特征值时，系统出现失稳情况。图6为不同气压强条件下，系数随预载荷的变化规律，各曲线和零轴交点表明一定流速下系统稳定所需的预载荷，随着气体流速降低，预载荷也减小。

图7、8为系统至少具有一个零特征数值时，式(2)线性化矩阵其余三个特征值与平板预载荷、气压强关系。可以发现，预载荷在－2.0和－1.5之间系统对动力学行为变得敏感，当有微小扰动时，可能会出现失稳现象，这与文中前述的退化点情况下的预载荷取值相一致(理论分析中已经证明)。图8表明，当气体初速较小时，系统动力学行为对扰动反应不敏感，当速度达到一定区域时，即气压强为60～100(与前述理论和图5结果一致)，系统动力学行为对扰动反应变得敏感，可能会出现屈曲等失稳现象。

图4 系统动力学相图Fig.4 Kinetics phase diagram of system

图5 系数q4与气压强关系Fig.5 Relationship between q4and pre load

图6 系数q2、q3与预载荷关系Fig.6 Relationship between q2，q3and pre load

图7 η与预荷载关系Fig.7 Relationship between η and pre load

图8 η与气压强关系Fig.8 Relationship between η and gas pressure

4 结束语

笔者运用Galerkin法和中心流形理论简化了两端简支、一面受气动力作用的二维平板的动力学方程组，分析了平板预载荷和气压强对系统稳定性改变的影响及动力学方程在两个零特征值退化点附近的分岔和系统稳定性。研究结果显示，一方面，系统在具有两个零特征值的退化点附近，局部范围内会出现极限环和不稳定结点，即平板受到扰动将发生周期性运动(颤振)和屈曲。文中给出了此时判定平板受到扰动时会趋向静止(稳定)和发生屈曲等(失稳)的参数条件。另一方面，系统具有零特征值失稳时，预载荷和气压强系数的取值范围大致为－2.0～－1.5和60～100，预载荷与气压强在此类失稳情况下成正比关系。

上述研究对于工程中预防失稳、保障结构安全具有一定参考意义。但由于工程壁板气弹耦合问题中，高非线性自治系统平衡稳定性是目前力学领域较难研究的课题，且平板支撑条件、热因素和平板的空间变形等也会对系统建模产生影响，有关动力学方程的分析理论也不够完善，有待于进一步探讨。

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