界面脱胶衬砌对出平面波的远场动应力响应

南景富， 赵春香， 齐 辉， 杨在林， 孙 鹏

(1.黑龙江科技大学 理学院，哈尔滨 150022;2.哈尔滨工程大学 航天与建筑工程学院，哈尔滨 150001;3.黑龙江省农副产品加工机械化研究所，黑龙江 佳木斯 154004)

0 引言

在工程实际应用的天然材料或人工合成的材料中，会遇到含有界面、衬砌、脱胶和裂纹等结构。如全面开挖的隧道在回填时会形成界面，为加固巷道而建造的衬砌结构，衬砌结构在温度变化与受冲击载荷等复杂因素作用下，会产生与邻接的介质间脱胶等现象。这些材料在受到动态的外力作用时，会在介质内产生扰动，且扰动会在材料内有规律的传播。当这种波动遇到界面、衬砌、脱胶和裂纹等结构时，波动规律会发生变化。研究波动规律与材料中这些结构的形状、几何尺寸和空间位置等特性间的相互关系或者在已经检测到波动信息的前提下，反过来判断材料中含有的结构类型、几何形状、空间位置或者结构物周围介质的物理信息等。对工程实际中水下声纳、无损检测、雷达、探矿、抗震与爆破等许多领域都具有理论和实际意义。笔者通过数学物理方法中Green函数以及复变函数的方法[1－4]，推导界面附近含有半圆形脱胶的圆柱形弹性衬砌的全空间，在受到任意角度入射的出平面波动作用时远场的位移模式和散射截面函数方程，并对数值计算结果进行了分析讨论。

1 力学模型

图1a表示的是该问题的力学模型。将模型沿着界面s分成上下两个半空间，上半部分为一含有半圆性凹陷的半空间，如图1b所示;下半部分为一含有半圆形凸起圆形衬砌的半空间，如图1c所示。

2 线源波动载荷引起的位移函数

当在图1b所示的上半空间水平边界的任意一点加载一与时间协和的线源波动荷载时，上半空间的位移场通过Green函数法可表示为[5－11]

图1c中的下半空间水平边界的任意一点加载一与时间协和的线源波动荷载时，下半空间的衬砌内位移场和下半空间其余部分位移场可分别表示为

式中，Am、Bm、Cm和 Qm为待求常数，由边界条件决定;W0为波的最大幅值;W(i)为入射波;W(s)为散射波。

图1 问题的力学模型Fig.1 Mechanics model of problem

3 模型的求解

图2表示的是在该问题的力学模型空间中，出平面波以任意角度α0入射时的模型。

模型入射波W(i)、反射波W(r)和折射波W(f)的波场可表示为

式中:α0为波的入射角;α4为波的折射角。

图2 出平面波入射模型Fig.2 Model of incidence of anti-plane-wave

在上半空间的分界面s上，总的位移场和应力场可以计算为

同时采用与前面求解线源波动载荷引起的位移函数相同的方法，可以求得上下半空间中的散射波。

在下半空间的分界面s上，总的位移场和应力场可计算为

为满足界面s上位移应力连续条件，在下半空间的界面s上施加均布的出平面线源外载荷f1(r0，θ0)，在上半空间的界面s上施加均布的出平面线源外载荷f2(r0，θ0)，如图3所示。这样就可将两部分结合在一起，形成所要解决问题的力学模型。求解f1(r0，θ0)的积分方程组为

图3 模型接合示意Fig.3 Forming bi-media material

在下半空间中，衬砌外总的位移场W(s)I为

在上半空间中，总的位移场W(s)Ⅲ为

式中，W(is)、W(rs)和W(fs)为半圆孔产生的散射波场，W(f1)和W(f2)为界面附加外力系产生的散射波场。

利用Hankel函数在充分大时的渐近表达式，可以得到散射波位移场远场位移表达式为

式中，F(Ⅰ)、F(Ⅲ)分别为上半空间和下半空间的散射波的远场位移模式FFDM。

式中:z=reiθ;m=0 时，εm=1;m≥1 时，εm=2。对于周期为T的波，时间的平均能通量为

通过一个柱体表面r=R的时间的平均能通量为

在远距离R位置

其中，

入射波在单位面积上的时间平均能通量为

其中，γ称为散射截面(SCS)。

4 计算结果与分析

数值仿真参数:k=ω/cs，ω为位移函数的圆频率;为材料的出平面波波速;ρ和 μ分别为材料的密度和剪切模量;k1a为入射波波数。为无量纲参数。

图4a～c为出平面波入射角α0=90°时，界面衬砌脱胶散射波的FFDM数值结果。由图4可见，由于几何对称性和入射波入射角α0=90°，FFDM数值结果关于y轴对称，FFDM最大值出现在y轴上或离y轴较近。通过图4a和图4bFFDM数值结果可见、和不变时，随着k1a的增加，FFDM数值结果分布有了明显变化。通过图4a和图4cFFDM数 值结果可见，k1a不变时，随着增加，FFDM数值结果分布有了明显变化，且脱胶附近的FFDM 数值解明显减小。

图4 出平面波界面衬砌脱胶散射波的FFDMFig.4 FFDM of scattering wave of interface lining and debonding impacted by antiplane-wave

图5为出平面波入射角α0=45°时，界面衬砌脱胶散射波的FFDM数值结果。由图5可见，FFDM数值结果分布不再具有对称性，最大值不再出现在y轴上或离y轴较近，而且变化复杂，规律性不再明显。

图6为出平面波入射角α0=90°以及不同时，界面衬砌脱胶散射波的SCS随k1a变化的数值结果。

图5 出平面波界面衬砌脱胶散射波的FFDMFig.5 FFDM of scattering wave of interface lining anddebonding impacted by antiplane-wave

图6 出平面波界面衬砌脱胶散射波的SCS的变化Fig.6 Vriation of SCS impacted by anti-plane-wave

图7为出平面波入射角α0=90°以及不同时，界面衬砌脱胶散射波的SCS随k1a的变化的数值结果。

图7 SH波垂直入射时散射截面随入射波波数的变化Fig.7 Variation of scattering cross-section vs.wave number impacted by SH-wave vertically

5 结束语

界面脱胶衬砌对出平面波的远场动应力响应的问题，其散射波远场位移模式值和散射截面值的变化，受上下半空间的材料参数和出平面波的波动参数的影响较大，应当在理论分析、工程实际设计和施工中给予足够的重视。

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