地铁盾构隧道回填层的应力传导性能

杨 悦， 尹晓黎， 高红梅， 苏东辉， 张 欣

(1.黑龙江科技大学 建筑工程学院，哈尔滨 150022;2.黑龙江建筑职业技术学院 建筑工程技术学院，哈尔滨 150025)

0 引言

盾构法隧道是一种管片衬砌与围岩共同作用的结构稳定的构造物，管片衬砌背后注浆回填是隧道盾构法施工中的一项十分重要的工序[1]。它能保证管片早期稳定，并可使管片与围岩一体化，确保围岩压力均匀传递给衬砌。回填层是盾构施工中必不可少的一部分，它的承载性能对盾构的质量问题影响较大[2]。所用注浆材料的复杂性，会影响回填层的弹性模量，从而影响它对应力应变的传导规律。我国目前对于回填层的研究尚少，且大多忽略其影响。回填层弹性模量还未有具体的确定办法，其设计理论和施工工艺仍在探索中[3－4]。

对于复合材料而言，弹性模量、内聚力和内摩擦角都要进行复合有效值的确定。目前，内聚力和内摩擦角大多采用体积平均法、自洽法及Hashin－Strikman法等求解[5]，而等效弹性模量还未有解析解，在实际工程中大多采用假设的近似值法处理。20世纪70年代，法国科学家Hassanib首次提出了用来分析复合材料等效力学性质的渐进均匀化理论[6]。闫晓鹏等[7]应用该理论研究了混凝土的等效弹性模量，但是由于借助于数值模拟研究手段，未得到解析解。唐欣薇等[8]利用有限元进行了混凝土宏细观力学特性的均匀化研究。

衬砌、回填层和围岩三者的力学模型至今没有定论。一般设计不考虑回填层的影响，将管片衬砌看成一均质圆环，围岩压力直接作用在衬砌上。

为此，笔者基于均匀化理论，以豆砾石、水泥灌浆为例，推导两种弹性材料混合的回填层的等效弹性模量解析表达式;建立衬砌、回填层和围岩三者相互作用的力学模型，推导衬砌和回填层上任一点的应力和应变解析解;分析豆砾石和四种弹性常数不同的水泥浆液混合而成的回填层的等效弹性模量的变化规律及四种等效弹性模量不同的回填层的衬砌和回填层的应力、应变分布规律，以期为TBM盾构施工隧道的衬砌设计提供理论依据。

1 回填层的等效弹性模量

1.1 均匀化理论

均匀化理论的研究对象是构成材料微、细管结构的单胞，它将材料视为由单胞组成的均匀弹性体[8]，认为单胞在空间上具有可重复性或周期性，单胞内部是不均匀的，但是宏观上看是均匀的。同时，考虑宏观尺度与细观尺度，建立起宏细观等效关系[9]。结构的不均匀性主要是细观上的不均匀，也就是单胞的不均匀。将豆砾石和水泥浆液的混合体视为同时具有宏观和细观力学特性的复合材料，利用摄动技术[10－11]将细观结构上的不均匀平均到宏观上。细观尺度内的应力、应变存在高度的不均匀性，宏观应力场无法反映波动情况，不利于分析，故将细观尺度的刚度矩阵平均到宏观上，从而得到宏观有效的刚度矩阵[12]。

从宏观结构中选取一个单胞作为研究对象[6]，如图1所示。单胞的尺寸比整体结构尺寸小许多，设ε量级(0＜＜ε＜＜1)是宏观坐标与细观坐标在单位矢量上真实长度的比值。

图1 放大的一个单胞Fig.1 One of oscillations in expanded scale

单胞内部的不均匀性使得结构宏观坐标当中ε区域内的应力、应变在外力的作用下产生较大的震荡，因此，应力、应变必须表示成宏观坐标和细观坐标的函数，即x和y=x/ε，如图2所示。文中将应力函数和应变函数表示成关于小参数ε的渐进展开式，即可得到一系列摄动控制方程，再求其近似解[13]。

图2 扩展坐标中单胞内的不均匀性示意Fig.2 Characteristic dimension of inhomogeneity and scale enlargement

1.2 细观结构中单胞的等效弹性模量

线弹性材料均符合弹性力学当中的三大基本方程和边界条件[14]。假设为弹性张量为位移张量为应力张量为应变张量，上标e表示函数具有宏观和细观双尺度特征。利用摄动技术，可以将应力函数或应变函数展开为与细观尺度相关的渐进展开式，如应变函数可以表示为

式(1)中展开的各项反应了应变场局部振荡的剧烈程度，展开项数量越多，越能真实反应应变场在细观尺度下的实际震荡情况。

将线弹性材料的本构关系代入式(2)，可得应力表达式:

式(3)对xj求偏导数，可得

利用摄动技术，取et的系数等于0，可以得到一系列摄动方程。单胞由豆砾石和水泥浆混合而成。单胞中含有两种材料时的特征方程为:

进而得刚度矩阵

若为各向同性材料，则式(4)的刚度矩阵为

式中:m=1，2;

将两种材料的弹性模量E1、E2和泊松比μ1、μ2代入式(5)，求出两种材料的刚度矩阵E1和E2。

利用单胞位移的周期性，可得

则位移可以简化表示为

应力相等条件为

解式(6)～(9)，可以得到矩阵

其中，

由式(10)～(13)可知，对于体积比为φ∶(1－φ)的回填材料，根据(m=1，2)可以求出其等效刚度矩阵。

1.3 宏观结构中回填层的等效弹性模量

由式(14)、(15)可以求出 λH和 GH，即

又由式(16)、(17)可以求出回填层的等效弹性模量EH，

1.4 E和φ对回填层等效弹性模量的影响

神华新街台格庙矿区一号井1#实验斜井，采用盾构施工方法。其总长度约为6 300 m，其中，盾构施工段长度为6 100 m。采用单层装配式钢筋混凝土平板型管片衬砌支护，选用C40高性能混凝土。弹性模量E=3.25×104MPa，泊松比μ=0.2。每环由七块管片组成，管片厚度为350 mm，内半径为3.3 m。

在盾构施工中，管片外侧与围岩之间存在15 cm厚的施工缝隙。该工程填充材料采用豆砾石和水泥混合灌浆。水泥浆液和豆砾石的弹性模量和泊松比见表1。假设豆砾石体积分数φ分别为1.0%、0.9%、0.8%、0.7%、0.6%、0.5%、0.4%、0.3%、0.2%、0.1%、0。在这十种配比情况下分别利用式(5)计算豆砾石和水泥浆液的混合材料的弹性刚度矩阵E1和E2，再根据式(10)～(13)求出回填层复合材料的等效弹性模量矩阵EHijkl，最后利用式(18)求出回填层的等效弹性模量EH。EH与水泥浆体积分数(1－φ)的关系见图3。

表1 材料参数Table 1 Parameters of materials

图3 等效弹性模量和水泥浆体积分数关系曲线Fig.3 Relationship between EH～(1-φ)

由图3可以看出，对于各种配比的回填层，当水泥浆所占体积为0时，回填材料的等效弹性模量即豆砾石本身的弹性模量;反之，当全部是水泥浆时，回填层的等效弹性模量是水泥浆本身的弹性模量。这表明文中所用理论和方法是合理的。由曲线呈下凸形状可知，文中推导公式计算出的回填层的等效弹性模量数值小于体积平均法求得的结果。

2 回填层对衬砌应力和应变的影响

2.1 力学模型

管片衬砌、回填层和围岩三者形成一个相互作用的整体，将衬砌看成一均质圆环，将围岩和回填层之间的作用简化为轴向均布压力p*，衬砌与回填结构如图4所示。

图4 衬砌和回填结构Fig.4 Model of lining and backfill structure

回填层和衬砌的力学模型当中，任一点处与圆心的距离设为r，根据神华新街台格庙矿区一号井盾构施工段的实际数据，选取相关参数如下:管片内半径r0=3.30 m，管片外半径(或回填层的内半径)r1=3.65 m，回填层外半径r2=3.80 m。

2.2 衬砌和回填层的应力解析解

由弹性力学基本原理，可得衬砌和回填层内某点的应力、位移表达式，分别为:

因为式(22)对任意θ都成立，所以方程两边自由项必相等，则 I、k、I'和 k'均为 0。

由边界条件得

又由接触条件得

将式(23)、(24)代入式(19)～(22)，解得

将式(25)～(28)分别代入式(19)、(20)，即得管片衬砌和回填层内任一点处的应力解析解。

2.3 回填层的等效弹性模量对衬砌应力的影响

分别计算豆砾石和水泥浆体积比为3∶2的情况下，1A、1B、1C和1D四种组合衬砌和回填层内任一点的径向应力和切向应力。以1A组合为例，由式(19)和(20)可得其应力表达式为:

四种组合形成的回填层的应力分布曲线如图5所示。由应力分布曲线可以看出，1A、1B、1C和1D四种组合作为回填层材料时，衬砌和回填层的应力符合以下规律:

(1)管片和回填层内的径向应力和切向应力均为压应力。

(2)衬砌内部点的应力小于回填层内的应力，而且进入回填区有应力突增现象，说明回填层对于外部压力有分担和传递的作用。

(3)随着回填层的等效弹性模量的增大，管片内的径向压应力和切向压应力均减小，说明此时回填层承担的较多。

由所求应力函数形式可知，径向应力和切向应力分布图均应由两段双曲线组成，但是由于曲线太短，使得曲线形式表现为直线。

图5表明，适当增加回填层中水泥浆的弹性模量和体积分数，可以有效降低管片内的应力。回填层承担一定的应力，对衬砌受力是有利的。

图5 衬砌和回填层应力分布Fig.5 Stress pattern of lining and backfill

2.4 衬砌应力与应变对比

2.4.1 衬砌应力

如果不考虑回填层对衬砌的影响，只考虑厚度为0.35 m的钢筋混凝土管片衬砌，设内径r0=3.30 m，外径r1=3.65 m，外侧压力p=p*，代入弹性力学厚壁圆筒应力公式，即

这种情况下的应力和四种组合情况的应力比较，可以看出，衬砌内径处的径向应力始终是0，外径处的径向应力和切向应力均大于考虑回填层影响时的应力，表明考虑回填层的影响会大大减小管片的应力，从而可以节省材料。

2.4.2 衬砌应变

极坐标中的平面应变问题的物理方程为

对于管片衬砌，如果不考虑回填层的影响，将E=3.35×104MPa，μ=0.2 代入式(29)，得到径向应变εr和切向应变εθ的表达式，计算结果见表2。

表2 考虑与不考虑回填层时的应变对比Table 2 Comparison of stress of segment lining with and without backfill 10－4

从表2可以看出，如果考虑回填层对衬砌的作用，衬砌内每一点的应变都大大降低，对于结构的稳定性是有利的。

3 结论

(1)对于水泥浆与豆砾石混合组成的回填层，水泥浆的弹性模量越大，回填层复合材料的等效弹性模量越大。

(2)受回填层的影响，围岩产生的压力向衬砌传递的规律发生了变化，衬砌上的应力小于不考虑回填层情况下的应力。

(3)回填层的等效弹性模量越大，承担的应力越大，从而衬砌上的径向应力和切向应力就越小。

(4)考虑回填层的影响，衬砌内点的应变也大大降低，对管片衬砌的稳定是有利的。

(5)利用均匀化理论和摄动技术处理复合材料的等效弹性常数，是目前比较可行、有效的方法，而且更能真实反应其力学特性。

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