B样条曲面变形方法的设计与实现
2013-10-16朱美玲董玲珍
朱美玲，董玲珍
（1.太原城市职业技术学院，太原 030027；2.太原理工大学理学院，太原 030024）
曲面造型是计算机辅助设计（CAD）和计算机图形学（CG）领域最活跃、关键的学科分支之一［1-2］。目前，计算机中的表面建模技术被不同的应用领域所需求［3］。为满足不同的应用需求，基于不同的表示方法发展衍生了相应的曲面造型技术。根据曲面变形的机理可大致分为4类［4-5］:基于几何模型的曲面变形、自由变形（FFD）、基于物理模型的变形方法和基于几何约束优化的变形。B样条曲面作为一种应用广泛的逼近样条类，它允许曲面可以局部控制，同时因为样条曲面是线性连续且光滑的曲面，所以用样条曲面来定义变形的参数空间可以使变形更加精确。
本文首先介绍了双三次B样条曲面的变形基础和曲面拼接的表达式，提出了一种双三次B样条曲面生成的改进算法，然后采用点约束、目标曲线约束两种几何约束驱动双三次B样条曲面变形，在点约束求解中以控制节点位移最小为目标函数，使用LINGO软件计算得到该目标下的最优解，并给出计算实例验证了该方法的可行性。
1 变形基础
1.1 双三次B样条曲面
一个双三次B样条曲面用下面的等式来表示:
式中，G代表控制节点矩阵。
等式（1）也可用如下等式来表示:
使用方程（2），当u和v由0到1改变时，能够生成一个双三次B样条曲面，它能有效地提高生成效率。图1为一个双三次B样条曲面的例子。
1.2 曲面拼接
图1 双三次B样条曲面Fig.1 Three B-spline surfaces
为了实现双三次B样条曲面拼接，扩展控制节点矩阵G，然后以每次4×4的方式获取单面的控制节点矩阵来拼接。下面是一个控制节点矩阵。
拼接完Gexpand后，获得了9个4×4的控制节点矩阵。图2表示了在这个合成曲面中单面位置。
图2 单面和合成面的关系Fig.2 The relationship between single surface and synthesis surface
这个合成面在变形过程中始终保持C2的连续性。如图3所示。
图3 改变控制节点后的变形Fig.3 The deformation after change control nodes
2 几何约束及其求解
目前主要有两种常用的几何约束用于变形操作:离散约束和连续约束。其中离散约束包括空间点信息、控制顶点位移等，连续约束包括曲线和子曲面等。由于连续约束的处理将给求解引入非线性的约束，使得变形过程复杂且难以收敛，因此主要关注离散约束类型，连续约束可通过离散采样等方法转化为一般的离散约束类型。
2.1 点约束及其求解
在平面上点pm（u，v）处，位置约束（2）和切线约束（3）形成了基本约束，能够被写成［6］:
其中N=（A，B，C）是变形后曲面在pt上的法向量，Pt为目标点。
考虑方程（1）和点约束，因而，目标是计算一个新的控制节点矩阵。
节点控制矩阵是4×4方阵，考虑到未知量的个数和曲面变形的效果，将控制节点矩阵中4个坐标值设为变量，其余12个坐标值保持固定，变形问题在各个维度上就转换为求解4元一次方程组的问题，所以是以最小控制节点位移求解的最佳模型。为了降低复杂度，在变形过程中设 Px10，Px11，Px12，Px13是变量，其他的都是固定值。这样，点约束的求解转变成线性等式的求解。在点约束下，沿着坐标y轴，得到等式（4）。
建立以最小控制节点位移求解的最佳模型。使用LINGO计算新的控制节点解。图4展示了求解节点约束解的过程。
图4 点约束的求解过程Fig.4 The solving process of point constraint
2.2 目标曲线约束及其求解
目标曲线约束是一种连续的约束，解决这种约束将给系统引入非线性约束，会使得解决过程复杂而且难以聚合［7］。因此，在解决这种约束之前，先分离目标曲线为离散的点，然后像解决多个点约束一样解决它。比较等式（4），在目标曲线约束下我们沿着y轴能够获得等式（5）.
式中，AY表示系数矩阵，AYb表示常数矩阵，则（5）可以表示为:
使用最小二乘法得到等式（7）:
其中NAY=AYT×AY，并且有:
如果NAY是可逆，则:y=NAY-1·NAYb
否则:y=NAY+·NAYb
其中NAY+是矩阵NAY的伪逆。
3 求解几何约束实例
3.1 点约束求解的例子
输入需变形的曲面面片5（如图2）上的点以及目标点，利用如图4所示的求解过程，求解3个例子。
例1:
表1 变形信息Tab.1 The deformation information
图5 求解点约束（例1）Fig.5 The solving point constraint（example 1）
图5展示了表1给出的变形信息，即面片5上点 pm（0.50，0.50）变形到空间点 pt（0.00，5.00，0.00）的变形结果。
例2:
表2 变形信息Tab.2 Deformation information
图6 点约束求解（例2）Fig.6 Solving point constraint（example 2）
图6展示了表2给出的变形信息，即面片5上点 pm（0.00，0.00）变形到空间点 pt（3.00，5.00，3.00）的变形结果。
图7展示了表3给出的变形信息，即面片5上点 pm（0.80，0.90）变形到空间点 pt（3.00，5.00，3.00）的变形结果。图5-图7给出了以控制节点最小位移求解点约束目标方程的结果。
图8 求解目标曲线约束（例4）Fig.8 Solving point constraint（example 4）
例3:
表3 变形信息Tab.3 Deformation information
图7 求解点约束（例3）Fig.7 Solving point constraint（example 3）
3.2 求解目标曲线约束例子
如图8（a）所示，在原始曲面面片上选取5个目标点，将目标曲线离散为5个点（用红色绘制），通过MATLAB获得变形结果。
例4:
表4 变形信息Tab.4 Deformation information
从图8（b）及图8（c）中可以看出随着单个面片向着目标曲线趋近时，与其拼接的曲面也都相应的发生改变最终维持了整个复合曲面的C2连续性。
在图9中可以看出，需要变形的曲面没有完全通过第1、3、5个目标点，而较好的通过第2、4个目标点。
例5:
表5 变形信息Tab.5 Deformation information
图9 求解目标曲线约束（例5）Fig.9 The constraint of solving point（example 5）
4 结论
文章论述了以几何约束来驱动双三次B样条曲面。双三次B样条曲面采用矩阵的表达形式。在这一基础上对控制节点矩阵进行扩充，并且按照4×4的规模进行分割从而实现双三次B样条曲面的拼接。各个曲面面片拼接后满足C2连续度。之后，对几何约束，包括点约束，目标曲线约束进行分析。开发系统能够完成接收变形曲面面片标号，面片上的点以及空间目标点等用户输入信息，计算参数，调用LINGO程序进行计算，展示变形结果等功能。在目标曲线约束求解中借助MATLAB，模拟得到变形结果。但还应进一步研究其它一些约束表达与实现（如目标曲线的切线约束等），开发以点约束驱动曲面变形的程序，使其能够实现用鼠标拾取曲面上点，拖动鼠标实现曲面的变形。
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