基于实测资料的内波振幅修正参数＊

陈维亮，陈 标，王 丹，杨继铎

（1.海军潜艇学院，山东 青岛266071；2.中国海洋大学物理海洋实验室，山东 青岛266100）

海洋内波是发生在稳定密度层化海洋内部、振动频率介于浮性频率和惯性频率之间的1种波动现象，其最大振幅出现在海洋内部，对自由海面影响较小［1］。在非线性和频散作用相平衡的情况下，常以内孤立波（Internal Solitary Wave）形式传播［2］。

目前，内波的波长、波向等信息可以从SAR图像中获得［3］，而内波振幅信息一直是内波参数反演的难点。Small等［4］用KdV方程从SAR图像估计内波的相速度和振幅；Li［5］等在两层线性模式假定下，依据历史资料模拟上混合层厚度与内波群速度的关系，同时利用一幅标准模式的SAR图像所包含的多个内波波群信息，直接计算出内波的群速度，由此得到与群速度最佳匹配的海洋混合层深度；Zheng等［6］在两层孤立波模型下，使用从SAR图像上获取孤立波半波宽度来计算内波振幅。以上内波波长检测方法比较复杂，内波振幅的反演结果经实测资料检验后精度不够高。

本文将从SAR图像出发，反演内波波长；然后根据流体动力学方程组导出非线性内孤立波方程，将反演得到的内波波长作为已知量，求解该方程并给出内孤立波表达式［7］，从而得到内孤立波振幅，将所得振幅与实测资料进行比对，提出了1个与波长、水深有关的修正参数，将此修正参数带回振幅公式，再进行实测资料的检验，以验证参数修正的有效性。

1 内波波长反演

海面粗糙度主要是由重力波、毛细波引起的，能够引起海面粗糙度分布变化的海洋现象都可以在雷达上成像［8］。内波作为较长的重力波，与短重力波和毛细波相比，振幅较大，本文内波波长的反演是基于各种重力波造成的海表面起伏不同，通过滤波的方式将较小的起伏去掉，反演内波波长。

1.1 SAR图像提取波长的理论过程

将非线性定形内波的基本方程在Boussinesq近似后加入弱非线性、弱频散条件，可以得到内孤立波的表面流场，这个流场为［9］

式中：ψ是流函数；W 是本征函数；a0为内孤立波振幅；Cf为非线性相速度；λ为内波特征长度；H 为水深；z为特定深度（z＝0为海面）；A0是1个正常数；θ＝x－Cft是波相位。

根据SAR对内孤立波的成像理论，即

式中：A1是1个正常数。对于下凹孤立波，a0＜0，则

式中：A2是1个关于A1，a0，σ0相关的函数。

图1是1个下凹内孤立波与归一化后向散射系数的对应关系图。图中实线是用密度跃层位移标示的向右传播的下凹内孤立波；虚线是Δσ0分布。调制为正时，在SAR图像上对应于比平均图像强度亮的条纹；调制为负时，在SAR图像上对应于比平均图像强度暗的条纹；调制信号的最大值和最小值所在位置的间距D并不是孤立波的波长，可以根据公式6导出：

图1 孤立波与归一化后向散射系数对应关系图Fig.1 Solitary wave and backscattering coefficient corresponding diagram

1.2 SAR图像反演波长的运算方法

本文对图像处理的方法是1种半自动的方法，以2010年7月1日SAR图像为例，如图2所示，范围为111°33′00″E～112°42′23″E，18°55′42″N～20°01′17″N，经向分辨率为13.342 5m，纬向分辨率为12.638 5m。

图2 SAR图像Fig.2 SAR image

图2 右下角有明显的内波现象，下面将会对这个区域进行图像处理，即在内波区域取垂直于内波波锋线的线段（见图3）本文取5条线段进行后续处理。

图3 内波区域的图像处理Fig.3 Image processing area of the internal waves

在取得内波区域的5条线段后，将对5条线短分别进行如下处理：

（1）奇异点的剔除。剔除图像中一定数量的极大值和极小值点，在剔除奇异点数量不太多的条件下，将不会影响图像的平滑性。

（2）滤波处理。滤波的标准是：滤掉小振幅波（毛细重力波等干扰波），剩下的是由于海面较大的辐聚辐散引起的雷达归一化后向散射系数的变化的波动表现，而这就是本文需要的内波的波动形式，滤波前后对比以线段1为例（见图4、5）。

对比图4和图5可以看出，SAR图像滤波后可以增强图像的辨识性，清晰的找到内波的空间波动规律。（3）确定波长大小。找出图5中最大值位置，设为A1，再找出距离A1最近的梯度为0的点，设为A2。

设图像距离分辨率为dx，根据波长公式可知：

（4）波长平均。由于图3中5条线段都是取自同1个内波，所以所得波长在理论上是相等的。将5条线分别反演的波长剔除最大值、最小值，剩下3个波长进行平均后可得最终波长。

1.3 SAR图像反演波长结果

本文提出的SAR反演内波波长方法是基于内波振幅、周期等与其他重力波、毛细波的不同实现的，经过图3所示取线段的方法后，同时可以得到波向角、波前位置等信息。上述SAR图像反演波长结果为：

表1 SAR反演波长的结果Table 1 Wavelength from SAR

上述反演方法在可见光反演波长时仍然适用，在可见光反演时要注意取与波峰线垂直的线段时避开云区的干扰。

2 内波振幅反演

内波振幅反演的方法有多种，常见的有两层模型法［10］和参数化法［11］。本文将采用 Vlasenko［12］提出的参数化浮性频率公式来反演内波振幅，对于内波相速度和群速度的反演采用的是两层模式。

本部分将参数化法反演的内波振幅与实测资料进行对比，提出了1个与波长、水深相关的修正系数，并将此修正系数代入振幅方程进行再次反演的检验，形成一套科学的闭环结构。

2.1 振幅反演的理论方法

图6 参数化浮性频率示意图Fig.6 Parameterized floating frequency

采用Vlasenko提出的参数化浮性频率公式：

有边值问题如下

式中：Ω 为圆频率；β0（i）是对应本征函数 W（i）（η）的一系列本征值。

采用上述模型可得

式中：H为水深；λ为表面参数反演的波长；γ是非线性参数。

2.2 振幅修正因子

由于求解振幅时进行了近似处理，并且参数化浮性频率存在一定的局限性，导致振幅反演的结果存在偏差。由实测资料检验可知，在浅海时反演得到振幅偏小。

引入1个与水深H和波长λ有关的参数n对振幅进行修订。

当λ≈H 时，n＝1。

事实上，当水深远远小于波长时，理论推导的内波振幅与实验数据相差较大；当水深与内孤立波长同量级时，KdV方程所给出的内波振幅与内波波长的关系反而能够很好的描述实验结果［13－14］。

所以内波振幅将变为：

2.3 实测数据对比

2.3.1 实验基本信息 本文实测资料来自2009年和2010年南海海上实验，实测仪器是温度链，实验位置如图7所示，坐标为（112°E、19.5°N）

图7 实验位置坐标Fig.7 Experimental position

2.3.2 实测振幅计算过程 以2010年7月2日的温度链资料为例，如图8所示，横坐标为时间，间隔为1 min，纵坐标为水深，410min后有明显内波出现，在原来小振幅波动的基础上，又叠加了1个强烈的内波波动。选取410min之后一段数据（见图9），此数据要求与SAR的实测时间、实测位置对应。

对此数据进行奇异点去除，滤波等处理后，可以找到每一层的振幅。根据参数化浮性频率方案所确定的温跃层位置对应实测资料的垂向特定层，可以找到与SAR反演内波振幅相对应的实测数据的振幅，即实测数据温越层处振幅。

2.3.3 数据对比 数据对比要求：实测资料与SAR图像在同一区域、同一时间段。符合上述要求的两者反演的内波被认为是同一个内波，本文确定了7组符合上述要求的资料，对比结果如表2所示。

表2 反演结果与实测数据对比表Table 2 Comparison table of inversion results and measured data

表2中，NO代表对比实验标号；DATA是指反演数据的来源：SAR图像；H为当地水深；λ为反演波长；A为实测数据振幅；a0原始振幅（未加振幅修正参数）；ERR1为对应a0的相对误差，计算公式为：ERR1＝为加入修正参数n后的振幅；ERR2为对应an0的相对误差，计算公式为

图10是对应表1的统计图，从图中可以看出：（1）与原始振幅相比，加入参数修正后振幅更加接近实测资料振幅，说明修正参数n能够大大提高振幅反演的准确性，相对误差在可接受的范围内。

（2）修正后振幅围绕实测振幅上下波动说明修正参数n比例合适，否则将会出现修正后振幅全部大于或者小于实测振幅的情况。

本文用到的实测资料是温度链资料，无法对内波波长进行直接的验证，但是由于在内波振幅的计算过程中，表面参数是一个很重要的组成部分，在反演振幅精度较高的条件下，波长的反演结果也在可以接受的范围内。

图10 反演结果与实测数据对比统计图Fig.10 Inversion results with the measured data contrast charts

3 结论和展望

本文针对海洋内波参数反演的技术难点，从基本理论公式，基本物理意义出发，结合实测资料验证，得到以下结论：

（1）提出了一套基于物理意义、操作性较强的海洋内波波长反演方法。

（2）基于参数法反演的内波振幅，在经过实测资料的验证后，提出了1个与波长、水深相关的振幅修正参数，得到了改进的内波振幅反演方法，实测资料证明：加入参数修正后的内波振幅精度得到了较大提高。

由于受到实测资料和SAR资料的限制，本文存在数据对比量不够多的缺点；同时由于实测资料的范围比较固定，使得本文对加入修正参数n后振幅仅在浅水（Hλ）进行了验证，并取得的较好的结果，用更丰富的资料进行深水区域的验证将会是下一步继续讨论的内容，也是今后研究的一个方向。

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