基于最小二乘法的平面任意位置椭圆轮廓度误差的精确计算

2013-10-15崔静伟雷贤卿王海洋侯少帅

制造业自动化 2013年4期

崔静伟，雷贤卿，王海洋，牛屾，侯少帅

（河南科技大学机电工程学院，洛阳 471003）

0 引言

平面曲线轮廓，如渐开线、椭圆和摆线轮廓等在工程中被广泛应用，因此曲线轮廓度测量、识别和误差评定成为轮廓度测量的重要内容[1]。如为了使发动机活塞能与汽缸良好地贴合，提高发动机热能效应，常将活塞截面加工成中凸变椭圆的几何形状[2]。这种中凸变椭圆的活塞裙部形线较为复杂、轮廓加工精度要求较高。因此，研究椭圆轮廓度误差评价方法对保证活塞及其他椭圆轮廓零件的加工质量有重要的意义。

关于椭圆轮廓度误差的评定，国家标准尚未给出明确的定义，也没有给定一种特定的评定算法求解椭圆轮廓度误差。近年来国内外学者开展这方面的研究较少，取得了一些研究成果。比较有代表性的成果有刘书桂等[3]基于最小二乘原理的椭圆误差的评价方法。邹益民等[4]基于几何距离的拟合算法。侯宇等[5]采用有效集法进行数据处理。陈基伟[6]提出的椭圆直接拟合算法。T.S.R.Murthy[7]提出的正交最小二乘法、二项高斯分布法和基于代数距离的最小二乘法来评定椭圆轮廓度误差。这些评定方法对于椭圆误差的评定都有一定的作用和效果。

本文通过平面任意位置椭圆方程、椭圆法线方程特点和椭圆本身性质，利用最小二乘原理实现对平面任意位置椭圆轮廓度误差的评定。

1 最小二乘椭圆拟合

设平面任意位置椭圆（如图1所示）方程为：

设Pi( xi, yi) （ i = 1 ,2,...,N）为椭圆轮廓上的N(N≥5)个测量点，依据最小二乘原理，所拟合的目标函数为：

欲使F为最小，须使

由此可得正规方程：

解方程(3)可得到A,B,C,D和E的值，由参考文献[3]可得到拟合出的最小二乘椭圆的五个主参数：位置参数 (θ ,x0, y0)及形状参数(a, b) 。

图1 平面任意位置椭圆及测量点与最小二乘椭圆关系图

表1 测量数据（mm）

表2 数据处理结果

2 确定过测量点的椭圆法线与最小二乘椭圆的交点

如图1所示，设点 Mi( Xi, Yi) 为过测量点pi(xi, yi)的椭圆法线与最小二乘椭圆的交点，由于交点 Mi( Xi, Yi) 既在法线上又在最小二乘椭圆[9]上，即点 M ( Xi, Yi)满足方程组：

3 判断各测量点 p i的位置

设拟合出的最小二乘椭圆的两个焦点为F1(xm1,ym1)和F2(xm2, ym2)（如图1所示）。依据椭圆的性质可得：

测量点 pi点到两焦点的距离之和 d di为：

与求在可行路径 P1上的最短时间一样，可求得在可行路径 P2上的最短时间是T2=96. 5632秒。

所以从 O → A 的最短时间T= m in{T1,T2}=94. 2283秒，最短时间路径如上所述。

当 d d

≥2a时，p

在椭圆的外侧；当dd

＜2a时，p

在椭圆的内侧。

4 计算椭圆的形状误差

每个测量点 pi(xi, yi) 到最小二乘椭圆的法向距离为:

其中点 Mi(Xi, Yi)为过测量点 pi(xi, yi)且沿法线方向与最小二乘椭圆的交点，当测量点位于最小二乘椭圆外侧时， d (i)取正值；当测量点位于最小二乘椭圆内侧时， d(i)取负值。

依据形状误差的定义可以知道，被测椭圆的形状误差为：

5 实例验证

为了检验算法的正确性和可靠性，用计算机模拟发生具有不同几何中心位置、长短半轴大小的椭圆数据，用本算法对其进行形状误差评定，其结果与理论值之差均在计算机字长所表达的数度范围内。对文献[6]中数据(表1)进行了计算比较，测量数据处理结果如表2 所示。

本文通过计算各测量点沿法线方向到最小二乘椭圆的最小距离对椭圆进行的误差评定，文献[6]则是按连心线方向计算的测量点到理想轮廓偏差的方法进行的椭圆误差评定。文献[6]数据是一组标准椭圆中加入测量误差 δ =±0 .003m 的数据，由表2可以看出，两种方法拟合出的理想椭圆主参数相近，而本文的误差评定结果显示与原数据设置的误差相吻合，测量更精确。