宜用反证法的常见题型

夏文宏

反证法是从反面的角度思考问题的证明方法，即肯定题设而否定结论，从而导出矛盾结论.具体的讲，反证法从否定命题的结论入手，并把对命题的结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到的结论与已知条件、定理、公理、法则或已经证明为正确的命题等矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得证明.下面介绍一下宜用反证法常见的题型.

点评：从正面出发难于下手解答的问题，可以考虑使用反证法.先否定结论，然后根据已知条件以及有关的定义、定理、公理等得出矛盾，从而肯定原来的结论是正确的.当命题的“结论反面”比“结论正面”更为明确具体时，我们均可考虑用反证法来解决.

题型二 含有“至多”、“至少”、“唯一”的命题

例2 已知三个关于x的方程：x2+4ax-4a+3=0，x2+（a-1）x+a2=0，x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数根，求实数a的取值范围.

分析：本题总共有三个方程需要考虑，若逐一讨论他们的实数根的情况，比较复杂，挖掘题目的隐含条件，发现“三个方程中至少有一个方程有实数根”的反面是“三个方程都没有实数根”，为此我们考虑利用反证法来解决.

题型三 含有否定词的命题

例3 已知三个正数x，y，z成等差数列，且x≠z，求证：x，y，z的倒数不可能成等差数列.

分析：根据题目的条件直接证明三个正数x，y，z的倒数不可能成等差数列比较困难，不妨从反面入手，先假定三个正数x，y，z的倒数成等差数列，然后结合已知条件通过推理得出矛盾.

分析：直接证明这个方程没有整数根，不太容易用到题设中的整系数和两个奇数的条件，且需要考虑的情况相当复杂，所以考虑利用反证法，只需否定方程有整数根的情况即可.

点评：当命题中含有“没有”字眼时，可考虑用反证法来解决.

[安徽省广德县实验中学 （242200）]