一种忆阻器离散混沌映射的设计及FPGA实现

白丹丹，王光义

(杭州电子科技大学电子信息学院，浙江杭州310018)

0 引言

记忆电阻简称忆阻器，是具有记忆性的第4种基本电路元件［1］。2008年，惠普实验室制作出了纳米级的二端口无源器件—忆阻器，忆阻器具有独特的开关转换机制、天然的记忆功能、连续的输入输出特性等［2］，使得忆阻器在非易失性存储器、人工神经网络、非线性电子线路、大规模集成电路以及图像处理等领域都有巨大的应用潜力［3－4］。目前忆阻器在混沌方面的应用多是研究基于蔡氏电路的混沌［5－6］。忆阻器的非线性特性在一维离散混沌映射及二维离散混沌映射的研究目前还没有。DSP Builder是一种算法级图形化设计软件，可以加速现场可编程门阵列(Field－Programmable Gate Array，FPGA)的设计与实现。本文使用DSP Builder软件对忆阻器混沌进行图形化设计，可以方便忆阻器混沌的特性研究及硬件电路的实现。

1 忆阻器的基本原理

惠普忆阻器是一个纳米级二端无源器件，其工作原理可以利用边界迁移模型来描述。其阻值可以近似为［2］:

式中，μv是平均离子迁移率，D是忆阻器半导体薄膜的厚度，忆阻器半导体薄膜可以看成由掺杂区和非掺杂区构成，通过外加电压，离子迁移，使得整个薄膜都变成了掺杂区，此时，忆阻器的阻值是Ron，反之，当整个忆阻器薄膜都是非掺杂区时阻值是Roff。

通过对忆阻器施加不同频率的正弦电压信号，得到的电压电流相图如图1所示，曲线1、2、3分别对应的电压激励的频率依次为:f1=1 Hz，f2=5 Hz，f3=40 Hz。可以看出，随着外加正弦电压频率的增加，电压电流滞回曲线将趋近于一条直线。

图1 忆阻器的电压电流相图

2 离散忆阻器混沌映射的设计

Cubic映射是一个比较简单的一维离散混沌映射，利用忆阻器特性对Cubic映射进行改进。选用Cubic映射是因为该映射方程简单，性能良好，对其改进后结构不会太复杂，且性能会更加符合应用标准且易于实现，便于混沌的应用。

Cubic映射为:

当 b∈(2.3，3)时，会出现混沌。

根据忆阻器的电压电流非线性关系，对Cubic映射进行改进，构成一个新的离散忆阻器混沌映射。令式2:y=v，x=i，并且离散化，则忆阻器电压电流关系可以表述为:

将忆阻器的电压电流关系代替Cubic映射中的后一项，其改进的混沌映射方程为:

这是一个新的忆阻器混沌映射，该混沌映射可以通过DSP Builder进行图形化设计，如图2所示，整个模块实现了式5，其中点划线框内的部分实现了忆阻器的电压电流关系，当参数设置为R1=0.8，k=0.000 1，b1∈(2.85，3.7)时系统出现混沌。

图2 离散忆阻器混沌映射DSP Builder设计原理图

3 动力学特性分析

忆阻器参数设置为:R1=0.8 kΩ，k=1 ×10－4kΩs－1V－1，且 a1=0.25，b1=3.7 研究该混沌的特性。

3.1 忆阻器混沌的lyapunov指数图及分岔图

当初始值为0.01，a1=0.25，图3(a)为随着参数的b1变化的Lyapunov指数，图3(b)为随着参数b1变化的分岔图。当b1∈(2.85，3.7)时候会出现混沌，区间中也会有一些周期想象出现。

图3 随着参数b1变化的Lyapunov指数图和分岔图

3.2 忆阻器混沌映射时序图及吸引子图

图4(a)为b1=3.7，a1=0.25时，该混沌序列的时序图，可以看出该混沌序列分布比较均匀且随机性比较好。图4(b)为随着参数a1的变化，混沌的吸引子图。混沌取值由大到小分别对应着a1为0.25、0.4、0.8、1.2、2。可见随着参数 a1取值越大，混沌序列的的取值越小。

图4 混沌时序图和吸引子图

4 离散忆阻器混沌映射的FPGA实现

根据图2所示忆阻器在DSP Builder中图形化设计，可以使用“Signal Compiler”将该原理图转化为VHDL/Verilog语言，进而使用FPGA来实现。实现波形图如图5所示，即为当a1=0.25，b1=3.7，通过带有Altera EP2C35F484C8芯片的FPGA开发板实现的忆阻器混沌映射的时序图和二值序列图。图5(a)为硬件实现的混沌时序图，图5(b)为硬件实现的混沌二值序列图。由该混沌系统产生的混沌二值序列随机性较好，可以作为加密序列应用到保密通信中。

图5 FPGA实现波形图

5 结束语

忆阻器是一种新型的非线性器件，其独特的电压电流特性可以应用在混沌领域。通过对离散的Cubic映射进行改进，加入了忆阻器的非线性电压电流关系，得到一个新的离散忆阻器混沌。通过分析本混沌映射的lyapunov指数、分岔图、时序图以及吸引子图，发现忆阻器混沌具有丰富的动力学特性。可见，忆阻器在混沌领域的应用不仅仅可以应用到基于蔡氏电路的混沌，其基本特性也可以应用到离散混沌映射中。通过对忆阻器混沌进行DSP Builder图形化设计，可方便地观察和研究该混沌，并且加快了其FPGA的数字化实现。

［1］Chua L O.Memristor—the missing circuit element［J］.IEEE Trans Circuit Theory，1971，18(5):507 －519.

［2］Dmitri B Strukov，Gregory S Snider，Duncan R Stewart.etal.The missing memristor found［J］.Nature，2008，453(7 191):80－83.

［3］Chua L O.Memristor，Hodgkin-Huxley，and edge of chaos［J］.Nanotechnology，2013，24(38).

［4］Tomas，Andy.Memristor-based neural networks［J］.Journal of Physics D-Applied Physics，2013，46(9):1 －12.

［5］Fitch Al，Yu D S，lu Herbert H C，etal.Hyperchaos in a memristor-bases modified canonical Chua's circuit［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos.2012，22(6):133 －145.

［6］Buscarino A，Fortuna L，Frasca M，etal.A gallery of chaotic oscillators based on HP memristor［J］.International Journal of Bifurcation and Chaos.2013，23(5):152 －164.