“数据的集中趋势与离散程度”考点聚焦

李庆社

考点1 数据的收集

例1 （2012年重庆）下列调查中，适宜采用全面调查（普查）方式的是（ ）.

A. 调查市场上老酸奶的质量情况

B. 调查某品牌圆珠笔芯的使用寿命

C. 调查乘坐飞机的旅客是否携带了危禁物品

D. 调查我市市民对伦敦奥运会吉祥物的知晓率

解析：A选项和B选项的调查带有破坏性，D选项的调查对象太多，都不适合普查，C选项的调查必须全面调查才安全. 故选C.

点评：通常有两种情况不适合普查，一是调查带有破坏性，二是调查对象太多.

考点2 总体、个体、样本、样本容量

例2 （2012年四川攀枝花）为了了解攀枝花市2012年中考数学学科各分数段成绩分布的情况，从中抽取150名考生的中考数学成绩进行统计分析. 在这个问题中，样本是指（ ）.

A. 150 B. 被抽取的150名考生

C.被抽取的150名考生的中考数学成绩

D.攀枝花市2012年中考数学成绩

解析：样本是总体中所抽取的一部分个体.选C.

点评：在本题中样本是指这150名考生的中考数学成绩，而并非是150名考生，也不是所有考生的数学成绩.

考点3 平均数和加权平均数

例3 （2012年山东泰安）某校开展“节约每一滴水”活动，为了了解开展活动的一个月以来节约用水的情况，从八年级的400名同学中选出20名同学统计了解各自家庭一个月的节水情况，见下表：

请你估计这400名同学的家庭一个月节约用水的总量大约是（ ）.

A. 130m3 B. 135m3

C. 6.5m3 D. 260m3

解析：根据表格可求得所选出的20个家庭平均每家一个月的节水量：（0.2×2+0.25×4+0.3×6+0.4×7+0.5×1）÷20=0.325（m3），所以400个家庭一个月节约用水的总量大约为400×0.325=130（m3）.故选A.

点评：本题主要考查了加权平均数的计算，x=，其中f1，f2，…，fk代表各数据的权，且f1+f2+…fk=n.

考点4 众数、中位数

例4 （2012年四川资阳）小华所在的九年级一班共有50名学生，一次体检测量了全班学生的身高，由此求得该班学生的平均身高是1.65米，而小华的身高是1.66米.下列说法错误的是（ ）.

A. 1.65米是该班学生身高的平均水平

B. 班上比小华高的学生人数不会超过25人

C. 这组身高数据的中位数不一定是1.65米

D. 这组身高数据的众数不一定是1.65米

解析：本题考查了一组数据中中位数、平均数、众数的概念及三者的取法.由平均数所反映的意义知A选项正确.由中位数与平均数的关系确定C选项正确，由众数与平均数的关系确定D选项正确；由于平均数受一组数据中的极大值、极小值的影响，故B选项错误.故选B.

点评：本题比较灵活地考查了一组数据中的“三数”（中位数、平均数、众数）及三者之间的关系.

考点5 条形图、折线图和扇形图

例5 （2012年贵州贵阳）某市对教师试卷讲评课中学生参与的深度与广度进行评价，其评价项目为主动质疑、独立思考、专注听讲、讲解题目四项.评价组随机抽取了若干名初中学生的参与情况，绘制了如下两幅不完整的统计图，请根据图中所给信息解答下列问题：

图1 图2

（1）在这次评价中，一共抽查了 名学生；

（2）请将条形图补充完整；

（3）如果全市有16万名初中学生，那么在试卷评讲课中，“独立思考”的学生约有多少万人？

解析：（1）由扇形图知，专注听讲的学生占抽取的学生数的40%.而由条形图可知，专注听讲的学生有224人，故一共抽查的学生数是224÷40%=560人；

（2）讲解题目的学生有560-84-168-224=84人， 将条形图补充完整，如图3；

（3）运用样本估计总体的思想求解.16×=4.8.

∴“独立思考”的学生约有4.8万人.

点评：本题属于双图信息互补型问题，其特点是单独的每个图都是残缺的，信息不完整，解答时可从两图都有描述的对象入手（如本题从专注听讲的学生数入手），逐步把残缺的信息挖掘出来.

考点6 频数、频率，频数分布表

例6 （2012年江苏连云港）今年我市体育中考的现场选测项目中有一项是“排球30秒对墙垫球”.为了解某校九年级学生此项目平时的训练情况，随机抽取了该校部分九年级学生进行测试，根据测试结果，制作了如下尚不完整的频数分布表：

（1）表中a= ，b= ；

（2）这个样本数据的中位数在第 组.

（3）下表为体育与健康中考察“排球30秒对墙垫球”的中考评分标准，若该校九年级有500名学生，请你估计该校九年级学生在这一项目中得分在7分以上（包括7分）的学生约有多少人？

排球30秒对墙垫球的中考评分标准

分析：（1）先根据第1组频数与频率求出被抽取的人数，然后用总人数减去各组的人数即可求出a的值.再根据b等于1减去各组频率之和计算即可；

（2）根据中位数的定义，按照垫球个数从少到多排列，找出50人中的第25、26两个人的垫球平均数所在的组即可；

（3）求出得分在7分以上的学生所在的百分比，然后乘500，计算即可.

解：（1）5÷0.10=50（人），

a=50-5-20-16=50-41=9，

b=1-0.10-0.18-0.32=1-0.60=0.40；

（2）根据图表，50人中的第25、26两人都在第3组，所以中位数在第3组；

（3）×500=360（人）.

点评：本题用到的知识点：频数=频率×总数，频率=频数÷总数.中位数的定义：将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数.

考点7 频数分布直方图和频数折线图

例7 （2012年贵州铜仁）某市对参加2012年中考的50000名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分.请根据图表信息回答下列问题：

（1）在频数分布表中，a的值为 ，b的值为 ，并将频数分布直方图补充完整；

（2）甲同学说“我的视力情况是此次抽样调查所得数据的中位数”，问甲同学的视力情况应在什么范围内？

（3）若视力在4.9以上（含4.9）均属正常，则视力正常的人数占被统计人数的百分比是 ，并根据上述信息估计全市初中毕业生中视力正常的学生有多少人？

图4

分析：（1）首先利用表格数据求出样本的总人数，然后求出a的值.再根据频率之和等于1可求出b，再将频数分布直方图补充完整；

（2）根据中位数的定义可以求出此次抽样调查所得数据的中位数的视力范围，继而可得到甲同学的视力情况在什么范围内；

（3）根据条件先求出视力在4.9以上（含4.9）的人数，除以总人数，计算出视力正常的人数占被统计人数的百分比，然后根据样本估计总体的思想求出全市初中毕业生中视力正常的学生有多少人.

解：（1）20÷0.1=200，

a=200-20-40-70-10=60， b=10÷200=0.05. 故填 60 ， 0.05.补充的部分如图4阴影部分.

（2）由题意可知：中位数在4.6≤x<4.9，

所以甲同学的视力情况应是4.6≤x<4.9.

（3）视力正常的人数占被统计人数的百分比是×100%=35%.

估计全市初中毕业生中视力正常的学生有50000×35%=17500（人）.

点评：此题考查了读频数分布直方图的能力及利用统计图获取信息的能力，同时也考查了中位数的求法，是一道综合性试题. 要求我们不仅会收集、整理数据信息，而且还要能对数据进行分析、加工，进一步作出判断和决策.

考点8 极差和方差

例8 （2012年江苏盐城）甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人10次射击的平均成绩恰好都是9.4环，方差分别是S2甲=0.90，S2乙=1.22，S2丙=0.43，S2丁=1.68.在本次射击测试中，成绩最稳定的是（ ）.

A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

解析：本题考查了方差的概念及意义.掌握方差的意义是关键.比较甲、乙、丙的方差大小即可.

由于S2丁 >S2乙>S2甲>S2丙，丙的方差最小，所以成绩最稳定的是丙.故选C.

点评：考查一组数据的稳定程度其实质就是比较它们的方差、标准差或极差.平均数相同或相差不大时，方差越小，这组数据就越稳定.