巧用三角形的内角和外角解题

周庭芬

一、知识透视

1.三角形内角和定理：三角形的三个内角之和等于180°.

证明三角形内角和定理的几种辅助线的作法：

（1）如图1，过点A作DE∥BC；

（2）如图2，过BC上任意一点D，作DE∥AC，DF∥AB；

（3）如图3，过点C作射线CD∥AB.

2.外角及其性质：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

性质1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图4，∠ACD=∠ABC+∠BAC.

性质2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图4，∠ACD>∠ABC，∠ACD>∠BAC.

二、问题透视

例1 （2012年广东肇庆）如图5，已知D、E在△ABC的边上，DE∥BC，∠B=60°，∠AED =40°，则∠A 的度数为（ ）.

A.100° B.90° C.80° D.70°

分析：结合“两直线平行，同位角相等”及三角形内角和定理，把已知角和未知角联系起来，即可求出角的度数.

解：因为DE∥BC，所以∠AED=∠C=40° .而∠B=60° ，根据三角形内角和定理有：∠A+∠B+∠C=180°，∠A=180°-∠B-∠C =180°-60°-40°=80°.故选C.

点评：本题考查了三角形的内角和定理及平行线的性质.

例2 （2012年四川广安） 已知等腰△ABC中，AD⊥BC于点D，且AD=BC，则△ABC底角的度数为（ ）.

A.45° B.75° C.45°或75° D.60°

解析：结合题意画出图形有助于解题，并且注意分类讨论.

①当BC为底边时，如图6，AB=AC，AD⊥BC，AD=BC，而BD=DC=BC，所以AD=BD=DC.

又∠ADB=90°，所以△ABC底角∠ABC=45°；

图6 图7

②当BC为腰时，如图7，BC=AB， AD⊥BC，AD=BC， 所以AD=AB，所以∠ABC=30°，因此△ABC底角∠ACB=75°.故选C.

点评：对于等腰三角形边、角的计算问题，如果题目中没有图形，注意画图，运用数形结合思想解答问题，而且等腰三角形问题往往有两种情况，应当分类讨论.

例3 （2012年云南省）如图8，在△ABC中， ∠B=67°，∠C=33°， AD是△ABC的角平分线，则 ∠CAD的度数为（ ）.

A.40° B.45° C.50° D.55°

解析 ：三角形的内角和是∠BAC+∠B+∠C=180°，所以∠BAC=80°；又因为AD是角平分线，所以 ∠CAD=40°. 故选 A.

例4 （2012年山东滨州）一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，这个三角形一定是（ ）.

A.等腰三角形 B.直角三角形

C.锐角三角形 D.钝角三角形

解析： 三角形的三个角依次为180°×=30°，180°×=45°，180°×=105°，所以这个三角形是钝角三角形.故选D.

点评： 本题结合三角形内角和定理以及三个角的大小之比可求出三个角的大小.

例5 已知一个三角形三个内角的度数比是1∶5∶6，则其最大内角的度数为（ ）.

A. 60° B. 75° C. 90° D. 120°

分析： 由于题目中出现比例“1∶5∶6”，我们可设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°.根据三角形内角和定理，三个内角的和为180°，列方程求解即可.

解：设三角形三个内角分别为x°、5x°、6x°. 根据题意，得

x°+5x°+6x°=180°，

解得x=15.

所以最大内角的度数为6x°=90°.故选C.

点评： 出现与三角形的内角有关的题目时，注意题目中隐含着一个相等关系——三角形三个内角的和为180°.

例6 如图9所示，∠C=48°，∠E=25°，∠BDF=140°，求∠A与∠EFD的度数.

分析： ∠BDF是△BCD的外角，也是△DEF的外角，无论运用哪种关系都可以求解.

由∠BDF是△BCD的一个外角，且∠C已知，可求∠CBD的度数.利用∠CBD是△ABE的外角可求∠A.利用∠EFD是△ACF的外角可求∠EFD.

解：因为∠BDF=∠C+∠CBD，∠C=48°，∠BDF=140°，所以∠CBD=92°.

因为∠CBD=∠A+∠E，∠E=25°，所以∠A=67°，∠EFD=∠A+∠C=115°.

点评：求一个角的度数，首先应该弄清这个角在哪个三角形中，是外角还是内角，跟已知角有什么联系.

例7 （2012年山东滨州）如图10，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C= .

图10

解析：∵AB=AD，∠BAD=20°，

∴∠B===80°.

∵∠ADC是△ABD的外角，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°+20°=100°.

∵AD=DC，∴∠C===40°.

点评： 本题考查三角形的外角性质：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

例8 如图11所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E.求证：∠BAC>∠B.

分析：解答涉及角的不等关系的问题时，要想到利用“三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角”的性质.

要证∠BAC>∠B，由于∠BAC、∠B在同一个三角形中，没有直接的定理可用，必须通过其他的角进行转换.

证明 ：在△ACE中，∠BAC>∠1（三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角）.

同理，在△BCE中，∠2>∠B.

因为∠1=∠2，所以∠BAC>∠B.

点评：本题中∠1=∠2的作用非常关键，它把∠B和∠2的不等关系与∠BAC和∠1的不等关系联系起来了.