平面几何知识解决2013年高考解析几何问题的六个切入点

福建省宁德市民族中学 郑一平 （邮编：355000）

解析几何是高中数学的重点内容，也是高考考查的重要内容之一.它的特点是用代数方法研究解决几何问题，关键是用“数形结合”的思想把几何问题转化为代数问题.尤其是新课程改革增加了平面向量与导数之后，向量、导数与解几的交汇更成为高考的热点问题之一.这类问题涉及知识面广、综合性强、题目新颖、灵活多样，有时解题过程繁杂，许多学生经常出错.实际上涉及解析几何问题若能充分挖掘问题条件中隐含的几何特征，利用平面几何知识去解决，则能化难为易、化繁为简，收到意想不到的效果.下面从2013年高考试题谈平面几何在解析几何中的应用时的六个切入点.

1 以圆幂定理为切入点

例1 （2013年福建高考文科试题）如图1，抛物线E∶y2＝4x的焦点为F，准线l与x轴的交点为A.点C在抛物线E上，以C为圆心，｜OC｜为半径作圆，设圆C与准线l交于不同的两点M、N.

（I）若点C的纵坐标为2，求｜MN｜；

（II）若｜AF｜2＝｜AM｜·｜AN｜，求圆C的半径.

分析与略解 本题主要考查抛物线的方程、圆的方程与性质、直线与圆的位置关系等基础知识.问题（1）比较简单.问题（2）根据条件圆心C在抛物线上且过原点，按常规思路有标准答案中的解法：

（Ⅰ）抛物线y2＝4x的准线l的方程为x＝－1，由点C的纵坐标为2，得点C坐标（1，2），所以点C到准线l的距离d＝2，又｜CO｜＝.所以

（Ⅱ）抓住圆的几何特征结合垂径定理，从圆幂定理为切入点有下列简洁解法：

设圆C与x轴交于不同的两点O、G.由圆幂定理知：｜AO｜·｜AG｜＝｜AM｜·｜AN｜.

评析 涉及抛物线与圆的位置关系问题，关键要抓住圆心在抛物线上、圆过原点这些几何特征，结合垂径定理和根与系数关系得问题解.方（II）根据条件抓住几何特征通过圆幂定理解决，显然比标准答案所给的方法简单明了，关键就是充分利用了圆的几何性质化难为易、化繁为简，收到事半功倍的效果.下面再举数例说明：

2 以平面几何中面积比、线段比为切入点

例2 （2013年湖北高考试题）如图2，已知椭圆C1与C2的中心在坐标原点O，长轴均为MN且在x轴上，短轴长分别为2m、2n（m＞n），过原点且不与x轴重合的直线l与C1、C2的四个交点按纵坐标从大到小依次为A、B、C、D.记λ＝m，△BDM和△ABN的面积分别为S1和S2.

（Ⅰ）当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，求λ的值；

（Ⅱ）当λ变化时，是否存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2？并说明理由.

分析与略解 根据条件涉及线段的比以及三角形面积问题，因此抓住图形间的几何关系从线段成比例为切入点思考比较佳.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝＋1.

解法2 如图3，若直线l与y轴重合，则｜BD｜＝｜OB｜＋｜OD｜＝m＋n，｜AB｜＝｜OA｜－｜OB｜＝m－n.

根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是

解法2 如图4，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，

不妨设直线l：y＝kx（k＞0），点M（－a，0），N（a，0）到直线l的距离分别为d1、d2，则

评析 本题若能通过条件结合图形抓住三角形面积与边或高的关系，利用比例推理计算求得结果，过程涉及点到直线距离和弦长等公式的应用，通过图形中的几何特征的挖掘发现解题思维突破口是解题的关键.

3 以两圆圆心距与两半径间的位置关系为切入点

例3 （2013年高考新课标卷I）已知圆M：（x＋1）2＋y2＝1，圆N∶（x－1）2＋y2＝9，动圆P与M外切且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求｜AB｜.

分析与略解 由已知得圆M的圆心为M（－1，0），半径r1＝1，圆N的圆心为N（1，0），半径r2＝3.设动圆P的圆心为P（x，y），半径为R.

（Ⅰ）由圆P与圆M外切且与圆N内切1即｜PM｜＋｜PN｜＝（R＋r1）＋（r2－R）＝r1＋r2＝4，由椭圆的定义可知，曲线C是以M、N为左右焦点，长半轴长为2，短半轴长为的椭圆（左顶点除外），其方程为

（Ⅱ）对于曲线C上任意一点P（x，y），由于｜PM｜－｜PN｜＝2R－2≤2，即R≤2，当且仅当圆P的圆心为（2，0）时，R＝2.所以当圆P的半径最长时，其方程为（x－2）2＋y2＝4，当l的倾斜角为90°时，l与y轴重合，可得｜AB｜＝2.

评析 涉及圆与圆、圆与直线位置关系问题抓住圆的几何特征，结合垂径定理、点线距离、弦长公式等沟通条件与结论间的关系是解决问题的关键.

4 以向量的几何意义为切入点

例4 （2013年上海市春季高考试题）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F.

（2）在x轴上是否存在点Q，使得点Q关于直线y＝2x的对称点在抛物线C上？如果存在，求所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由.

分析与略解 由条件直接利用向量的几何意义求解.（1）设动点P的坐标为（x，y），点A的坐标为（xA，yA），则＝ （x－xA，y－yA），因为F的坐标为（1，0），所以＝ （xA－1，yA），由＝－2得（x－xA，y－yA）＝－2（xA－1，yA）.

得到动点P的轨迹方程为y2＝8－4x.

（2）设点Q的坐标为（t，0）.点Q关于直线y＝2x的对称点为Q′（x，y），

若Q′在C上，将Q′的坐标代入y2＝4x，得4t2＋15t＝0，即t＝0或t＝－.所以存在满足题意的点Q，其坐标为（0，0）和（－，0）.

5 以特殊三角形的性质、几何特征为切入点

（Ⅱ）记直线AP、BP、AQ、BQ的斜率分别是k1、k2、k3、k4，求证：k1·k2＋k3·k4为定值；

（Ⅲ）过Q作垂直于x轴的直线l，直线AP、BP分别交l于M、N，判断△PMN是否可能为正三角形，并说明理由.

分析与略解 本题考查直线、椭圆、双曲线等基础知识，考查运算求解能力和探究能力，数形结合思想、化归与转化思想.

（Ⅲ）解法1 由条件假设△PMN为正三角形，下面分点P在x轴上方和下方两种情况：

综合上述，当a＝且点P为椭圆的顶点（0，b）或（0，－b）时，△PMN为正三角形.

解法2 分析条件中隐含的几何特征，考虑用等腰三角形两底角相等几何性质处理：假设△PMN为正三角形，则 ∠MPN＝ ∠PMN＝60°，又MN⊥x轴，则 ∠PAB＝30°，∠PBA＝30°，即ΔPAB为等腰三角形.

综合上述，当a＝且点P为椭圆的顶点（0，b）或（0，－b）时，△PMN为正三角形.

评析 显然问题（III）的解法2过程直观简洁，避免了分类讨论和计算.关键就在于抓住了等腰三角形的几何特征.

6 以圆锥曲线的几何意义为切入点

例6 已知动圆A经过点B（1，0），且和直线x＋1＝0相切.（1）求圆心A的轨迹E方程；（2）设点P（x0，y0）为曲线E上的任意一点，点M的坐标为（x0＋2，0），过点M作直线PB的垂线，垂足为N，当x0变化时，线段PN的长度是否为定值？若是，请写出这个定值，并证明你的结论；若不是，请说明理由.

分析与略解 本小题主要考查抛物线的标准方程与性质、直线的方程及其位置关系、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想.

（I）解法1 （定义法）依题意，由抛物线定义知，轨迹E是以B（1，0）为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，所以轨迹E的方程是y2＝4x.

所以轨迹E的方程是y2＝4x.

（II）线段PN的长度为定值2，证明如下：

解法1 当x0＝1时，点P（1，±2），PB⊥x轴，点N与点B重合，｜PN｜＝｜PB｜＝2.

综上，线段PN的长度为定值2，

综上，线段PN的长度为定值2.

解法3 （几何法）当x0＝1时，点P（1，±2），PB⊥x轴，点N与点B重 合，｜PN｜＝｜PB｜＝2.当y0＝0时，点P（0，0），点M（2，0），点N与点M重合.｜PN｜＝｜PM｜＝2.当x0≠1且y0≠0时，过点P作PH⊥x轴于H，则｜MH｜＝2.

因为｜PB｜＝x0＋1，｜MB｜＝x0＋1，，所以｜PB｜＝｜MB｜，所以RtΔPBH≌RtΔMBN.得｜BH｜＝｜BN｜，因此｜PN｜＝｜MH｜＝2.

综上，线段PN的长度为定值2.

以上可以看出，平面几何在解析几何中有着广泛的应用，在解题中要有几何意识，善于挖掘条件中隐含的几何因素，结合有关知识去解决.