强混合删失数据密度函数估计的r阶相合性＊

刘 艳，吴群英，叶彩园

（桂林理工大学理学院，广西桂林 541006）

强混合删失数据密度函数估计的r阶相合性＊

刘 艳，吴群英，叶彩园

（桂林理工大学理学院，广西桂林 541006）

在α－混合序列下，研究了基于删失数据的密度函数f（x）核估计的r（r＞2）阶相合性，并给出了失效率函数λ（x）的估计，且证明了其r（r＞2）阶相合性.

α－混合；删失数据；核估计；r阶相合性

1 相关定义

在统计分析中，经常存在需要对给定事件发生的时间进行估计和预测.在记录数据时，由于观测时间的局限，观察对象在进入或退出试验的随机性，以及对生存数据试验的设计，都可能使人们记录不到事件发生的具体时间，而只能记录到事件发生在某一段时间内，这样的数据称之为删失数据［1］，如果事件发生的时间大于某个时间点，称为右删失数据，反之称为左删失数据.

对α－混合序列的大样本性质已有很多文献作了研究，如刘君［3］研究了α－弱相依序列加权和的几乎处处中心极限定理，杨善朝［4］研究了α－混合序列和的强大数律及其应用，许冰［5］研究了α－混合序列的完全收敛性等.对删失数据的研究近些年也得到了广泛的关注，如徐芹［6］在｛Xi，i≥1｝和｛Yi，i≥1｝分别是独立随机变量时，研究了删失数据下线性回归模型的参数估计；薛留根［7］研究了删失数据下核密度估计的误差分布的强逼近等.笔者研究了在｛Xi，i≥1｝是同分布α－混合序列，｛Yi，i≥1｝是独立同分布序列，且｛Xi，i≥1｝与｛Yi，i≥1｝相互独立时，fn（x）和λn（x）的r阶相合性.文中出现的c均表示与n无关的常数.

2 引理及定理

引理1［8］设｛Xn，n≥1｝是一列α－混合随机变量，混合系数是α（n），｛Yn，n≥1｝是一列独立同分布随机变量，｛Xn，n≥1｝与｛Yn，n≥1｝之间是独立的，则序列｛（Xn，Yn），n≥1｝是α－混合的，且混合系数是4α（n），特别地，Zn＝min｛Xn，Yn｝（n≥1）也是α－混合的.

引理2［9］X1，X2，...，Xn是一列α－混合序列，设r＞2，EXi＝0，存在μ＞0，λ＞r（r＋μ）／2μ，且α（n）＝O（n－λ），E｜Xi｜r＋μ＜∞，则对任意的ε＞0，存在常数c，有

定理1 设｛Xi，i≥1｝是同分布α－混合随机变量，｛Yi，i≥1｝是独立同分布随机变量，Xi独立于Yi，若满足条件（ⅰ）和（ⅱ），且f（x）在R上一致连续，分布函数G（x）连续，当

则对任意r＞2，有E｜fn（x）－f（x）｜r→0.

定理2 设定理1的条件满足，且分布函数F（x）和H（x）连续，则对任意r＞2，有E｜λn（x）－λ（x）｜r→0.

结合引理3，有如下推论：

推论1 定理1条件满足，则对任意的0＜r＊≤2，有E｜fn（x）－f（x）｜r＊→0.

推论2 设定理1条件满足，则对任意的0＜r＊≤2，有E｜λn（x）－λ（x）｜r＊→0.

3 定理的证明

定理1证明 由Cr不等式，显然有

根据引理1可知Wi也是α－混合序列，对比（3）式的证明过程，且由H（x），G（x）和f（x）的连续性，以及基本条件（ⅱ），同理可得

类似于（10）式的证明，同理可证

综合（12），（13）式，定理2得证.

推论的证明可由引理3直接得证.

［1］ 吴 蕾.删失数据下的时间序列模型参数估计及预测［D］.上海：华东师范大学，2011.

［2］ ROSENBLATT M.A Central Limit Theorem and a Strong Mixing Condition［J］.Proc.Nat.Acad.Sc.U.S.A.，1956，42：43－47.

［3］ 刘 君.α－弱相依序列加权和的几乎处处中心极限定理［J］.吉林大学学报：理学版，2011，49（1）：79－81.

［4］ 杨善朝.α－混合序列和的强大数律及其应用［J］.高校应用数学学报，1996，11（4）：443－450.

［5］ 许 冰.α－混合序列的完全收敛性［J］.科学通报，1997，42（8）：813－817.

［6］ 徐 芹.删失数据下线性回归模型的参数估计［J］.大学数学，2011，27（6）：60－64.

［7］ 薛留根.删失数据下密度核估计的误差分布的强逼近［J］.工程数学学报，2003，20（4）：80－84.

［8］ CAI Zong－wu.Asymptotic Properties of Kaplan－Meier Estimator for Censored Dependent Data［J］.Statistics ＆Probability Letters，1998，37：381－389.

［9］ YANG S C.Maximal Moment Inequality for Partial Sums of Strong Mixing Sequences and Application［J］.Acta.Math.Sinica：English Series，2007，23：1 013－1 024.

［10］ 吴群英.混合序列的概率极限理论［M］.北京：科学出版社，2006：22.

（责任编辑 向阳洁）

r－th Consistency of the Density Function for Strong Mixing Censored Data

LIU Yan，WU Qun－ying，YE Cai－yuan
（College of Science，Guilin University of Technology，Guilin 541006，Guangxi China）

This paper discusses the r－th（r＞d）consistency of the kernel estimation for a density function f（x）based on censored data fromα－mixing sequence.For practical purposes，the estimation of the hazard functionλ（x）is given，and the r－th consistency is proved.

α－mixing sequence；censored data；kernel estimation；r－th consistency

O211.67

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.04.005

1007－2985（2013）04－0019－04

2013－03－13

国家自然科学基金资助项目（11061012）；广西省高校人才小高地建设创新团队资助计划（桂教人（2011）47号）；广西省研究生教育创新计划项目（2011105960202M32）；广西省自然科学基金资助项目（2012GXNSFAA053010）

刘 艳（1988－），女，山西长治人，桂林理工大学理学院硕士，主要从事概率统计研究

吴群英（1961－），女，广西桂林人，桂林理工大学理学院教授，博士，主要从事概率统计研究，E－mail wqy666＠glut.edu.cn.