关于圈的（，...，）－冠的优美性＊

吴跃生

（华东交通大学基础科学学院，江西南昌 330013）

吴跃生

（华东交通大学基础科学学院，江西南昌 330013）

给出了圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的定义，讨论了圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的优美性，用构造性的方法给出了一些特殊的圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的优美标号.

优美图；圈；冠

1 相关定义

文中所讨论的图均为无向简单图，V（G）和E（G）分别表示图G的顶点集和边集，未说明的符号及术语均同文献［1］.

定义1［1］对于一个图G＝（V，E），若存在一个单射θ：V（G）→｛0，1，2，...，E（G）｝使得对所有边e＝（u，v）∈E（G），由θ′（e）＝θ（u）－θ（v）导出的E（G）→｛1，2，...，E（G）｝是一个双射，则称G是优美图，θ是G的一组优美标号，称θ′为G的边上的由θ导出的诱导值.

定义2［1］在图G每个顶点都粘接了r条悬挂边（r≥1的整数）所得到的图，称为图G的r－冠.图G的1－冠称为图G的冠.

文献［1］证明了图P1∨Pn的优美性（图P1∨Pn是路P1和路Pn的联图），又证明了图P1∨Pn的r－冠的优美性，由此猜想：任意优美图的r－冠都是优美图.

定义3 V（G）＝｛v1，v2，...，vn｝的每个顶点vi都粘接了ri条悬挂边（ri≥0的整数，i＝1，2，...，n）所得到的图，称为图G的（r1，r2，...，rn）－冠，简记为G（r1，r2，...，rn）.特别地，当r1＝r2＝...＝rn＝r时，称为图G的r－冠.图G的0－冠就是图G.

文献［2－8］给出了圈Cn的（r1，r2，...，rn）－冠的定义，讨论了当n＝3，7，8，11，4h，4h＋3时，圈Cn的（r1，r2，...，rn）－冠的优美性.文献［10－12］分别讨论了一些图与星树St（m）的非连通并集的优美性.

笔者给出了圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的定义，讨论了圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的优美性，用构造性的方法给出一些特殊的圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的优美标号.

定义4 V（G）＝｛v1，v2，...，vn｝中的每个顶点vi都与有ri条边的图Gri的一个顶点粘合所得到的图（ri为非负整数，i＝1，2，...，n），称为图G的（Gr1，Gr2，...，Grn）－冠，简记为G（Gr1，Gr2，...，Grn）.特别地，当Gr1＝Gr2＝...＝Grn＝Hr时，称为图G的Hr－冠.图G的H0－冠就是图G；当Gri＝St（ri）（St（ri）是有ri条边的星树i＝1，2，...，n），且V（G）＝｛v1，v2，...，vn｝中的每个顶点vi都与星树St（ri）中的ri度点粘合所得到的图就是图G的（r1，r2，...，rn）－冠.

定义5 V（C4h＋3）＝｛v1，v2，...，v4h＋3｝中的每个顶点vi都与有ri条边的图Gri的一个顶点粘合所得到的图（ri为非负整数，i＝1，2，...，4h＋3），称为圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠，简记为G（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）.

2 主要结果及其证明

证明 设满足定理条件的圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠如图1所示.

图1 圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，G44h＋3）－冠

下面构造圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的2种优美标号.

第1种优美标号.定义圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的顶点标号θ为：

是一个双射.

因此，θ是圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的优美标号.

第2种优美标号.定义圈C4h＋3的（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋3）－冠的顶点标号θ为：

证明类似第1种标号，此处略.

在定理1中，令r1＝r2＝...＝r4h＋3＝0，有如下结论：

推论1 C4h＋3是优美图.

在定理1中，令Gr4h＋3＝St（r4h＋3），且圈C4h＋3中的顶点v4h＋3与St（r4h＋3）中的r4h＋3度点粘合，有如下结论：

在推论3中，令r1＝r2＝...＝r4h＋3＝r，有如下结论：

推论4 r为任意自然数，圈C4h＋3的r－冠是优美图.

例1 下面根据推论2给出圈C15的（0，1，0，2，0，1，0，3，0，0，0，0，0，0，7）－冠的2种优美标号，如图2，3所示.根据定理1给出圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），C7）－冠的2种优美标号，如图4，5所示.根据定理1给出圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），ω3，4）－冠的2种优美标号，如图6，7所示.根据定理1给出圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），C7∪P3）－冠的2种优美标号，如图8，9所示.根据定理2给出圈C11的（St（2），St（2），St（0），St（4），St（0），St（1），St（1），St（0），St（3），St（0），C3）－冠的2种优美标号，如图10，11所示.

图2 圈C15的（0，1，0，2，0，1，0，3，0，0，...，0，7）－冠的第1种优美标号

图3 圈C15的（0，1，0，2，0，1，0，3，0，0，...，0，7）－冠的第2种优美标号

图4 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），C7）－冠的第1种优美标号

图5 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），C7）－冠的第2种优美标号

图6 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），ω3，4）－冠的第1种优美标号

图7 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（2），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（0），...，St（0），ω3，4）－冠的第2种优美标号

图8 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（4），St（0），St（0），...，St（0），C7∪P3）－冠的第1种优美标号

图9 圈C15的（St（0），St（1），St（0），St（1），St（0），St（3），St（0），St（4），St（0），St（0），...，St（0），C7∪P3）－冠的第2种优美标号

图10 圈C11的（St（2），St（2），St（0），St（4），St（0），St（1），St（1），St（0），St（3），St（0），...，St（0），C3）－冠的第1种优美标号

图11 圈C11的（St（2），St（2），St（0），St（4），St（0），St（1），St（1），St（0），St（3），St（0），...，St（0），C3）－冠的第2种优美标号

［1］ 马杰克.优美图［M］.北京：北京大学出版社，1991

［2］ 吴跃生，李咏秋.关于圈Cn的（r1，r2，...，rn）－冠（n＝7，8）的优美性［J］.阜阳师范学院学报：自然科学版，2010，2 7（3）：20－23.

［3］ 吴跃生，李咏秋.关于圈C11的（r1，r2，...，r11）－冠的优美性［J］.长春师范学院学报，2010，29（6）：4－8.

［4］ 吴跃生，李咏秋.再探圈Cn的（r1，r2，...，rn）－冠（n＝7，8）的优美性［J］.阜阳师范学院学报：自然科学版，2010，2 7（4）：1－4.

［5］ 吴跃生，李咏秋.关于圈C3的（1，2a，2a＋1）－冠的优美性［J］.河南教育学院学报，2010（4）：1－2.

［6］ 吴跃生.关于圈C4h的（r1，r2，...，r4h）－冠的优美性［J］.华东交通大学学报，2011，28（1）：77－80.

［7］ 吴跃生，李咏秋.关于圈C4h＋3的（r1，r2，...，r4h＋3）－冠的优美性［J］.吉首大学学报：自然科学版，2011，32（6）：1－4.

［8］ 吴跃生.圈C3的（r1，r2，r3）－冠都是优美的［J］.河南教育学院学报，2012，21（1）：15－17.

［9］ 吴跃生.关于图P36k＋5∪P3n的优美性［J］.吉首大学学报：自然科学版，2012，33（3）：4－7.

［10］ 吴跃生，徐保根.两类非连通图（P2∨）（0，0，r1，0，...，0，rn）∪St（m）及（P2∨）（r1＋a，r2，0，...，0）∪Gr的优美性［J］.中山大学学报：自然科学版，2012，51（5）：63－66.

［11］ 吴跃生.图C5（r1r2，r3，0，0）∪St（m）的优美性［J］.嘉应学院学报，2012，30（8）：5－8.

［12］ 吴跃生.图C7（r1r2，r3，r4，r5，0，0）∪St（m）的优美性［J］.吉首大学学报：自然科学版，2012，33（5）：9－11.

（责任编辑 向阳洁）

On the Gracefulness of the（，...，）－Corona of the Graph C4h＋3

WU Yue－sheng
（School of Basic Science，East China Jiaotong University，Nanchang 330013，China）

The definition of the（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋2）－corona of the Graph C4h＋3is given.The gracefulness of the（Gr1，Gr2，...，Gr4h＋2）－corona of the Graph C4h＋3are discussed.The graceful labelings are given.

graceful graph；cycle；corona

O157.5

A

10.3969／j.issn.1007－2985.2013.04.001

1007－2985（2013）04－0001－06

2012－12－13

国家自然科学基金资助项目（11261019；11061014）；江西省自然科学基金资助项目（20114BAB201010）

吴跃生（1959－），男，江西瑞金人，华东交通大学基础科学学院副教授，硕士，主要从事图论研究.