双树复小波和奇异差分谱在滚动轴承故障诊断中的应用＊

胥永刚，孟志鹏，陆 明，付 胜

（北京工业大学机电学院先进制造技术北京市重点实验室，北京 100124）

引 言

滚动轴承是机械设备中最常用的零件之一，它的运行状态直接影响到整台机器的性能，而滚动轴承故障是导致机械设备运行过程中产生故障的主要原因之一，因此对滚动轴承故障诊断进行研究具有十分重要的意义［1］。通常，除固定的外圈之外，滚动轴承中的运动部件（包括内圈、保持架和滚动体）局部损伤造成的振动激励源与传感器之间的位置相对变化，而且在轴和轴上多种零部件振动的影响作用下，信号中的干扰激励多，滚动轴承振动信号的成分比较复杂，因此，相对于外圈故障来说，内圈、保持架和滚动体故障特征微弱，不易提取［2］。

双树 复 小 波 变 换 （dual－tree complex wavelet transform，DT－CWT）首先由 Kingsbury等提出［3］，后经学者Selesnick进一步发展［4］。双树复小波变换保留了复小波变换的优良特性，而且采用双树滤波器的形式，保证了信号的完全重构性。因此，双树复小波变换是一种具有近似平移不变性、良好的方向选择性、有限的数据冗余性、完全重构性和计算效率高等良好特性的小波变换，已经成功应用于图像处理、语音识别、信号降噪和故障诊断等领域［5～8］。

目前，奇异值分解技术在故障诊断领域已有应用［9，10］，主 要 用 于 信 号 降 噪 处 理 及 周 期 成 分 的 提取［11］。奇异值差分谱用来描述信号中有用成分和噪声的奇异值的本质差异，根据差分谱的最大突变位置可以准确地确定有效奇异值的个数。

本文提出了基于双树复小波和奇异差分谱的故障诊断方法，并将其成功应用于机械故障诊断。实验和工程应用均表明，该方法可以有效的提取滚动轴承的故障特征频率。

1 双树复小波变换的基本原理

双树复小波变换采用两个并行的实小波变换来实现信号的分解和重构，分别称为实部树和虚部树，DT－CWT的分解与重构过程如图1所示［3，4］。在信号的分解与重构过程中，始终保持虚部树的采样位置位于实部树的中间，使双树复小波变换能有效综合利用实部树和虚部树的小波分解系数，从而实现实部树和虚部树的信息互补。这种小波分解算法使双树复小波变换具有近似平移不变性，并减少了有用信息的丢失。双树复小波变换在各层的分解过程中，利用小波系数二分法减少了多余的计算，从而提高了计算速度。根据双树复小波的构造方法，复小波可表示为

式中ψh（t），ψg（t）表示两个实小波；i为复数单位。由于双树复小波变换由两个并行的小波变换组成，因此，根据小波理论，上面实部树小波变换的小波系数和尺度系数可由下式计算：

同理，下面虚部树小波变换的小波系数和尺度系数可由下式计算：

因此，可得到双树复小波变换的小波系数和尺度系数：

最后，双树复小波变换的小波系数和尺度系数可由下式进行重构：

双树复小波变换后的重构信号可表示为

图1所示为3层双树复小波分解和重构过程，在分解过程中，h0和h1分别为实部树对应的低通滤波器和高通滤波器，g0和g1分别为虚部树对应的低通滤波器和高通滤波器。同样，在重构时，h0′和h1′为实部树滤波器组，g0′和g1′为虚部树滤波器组，本文采用的是Kingsbury所构造的Q－shift双树滤波器［3］。

图1 双树复小波变换的分解和重构过程Fig．1 Decomposition and reconstruction process of dual－tree complex wavelet transform

2 奇异值差分谱的基本原理

奇异 值 分 解 （Singular value decomposition，SVD）是一种正交化的方法。一个实矩阵A∈Rm×n，不管其行列是否相关，必定存在一对正交矩阵U＝（u1，u2，…，um）∈Rm×m和一个正交矩阵V＝（v1，v2，…，vn）∈Rn×n，使得

式中S＝（diag（σ1，σ2，…，σq），0）或者其转置，这取决于m＜n还是m＞n，其中，A∈Sm×n，0代表零矩阵，q＝min（m，n），σ1≥σ2≥…σq≥0，它们称为矩阵A的奇异值。

应用SVD的关键是利用信号构造出恰当的矩阵。一维信号可以构造出很多矩阵，如Toeplitz矩阵、Cycle矩阵、Hankel矩阵等，也有其他的构造方法，构造的矩阵不同，SVD处理信号的效果就不同。采用Hankel矩阵，SVD可以有效地去除信号中的噪声成分［12］。

设有Y＝（y（1），y（2），…，y（N））为离散数字信号，可以构造Hankel矩阵如下

式中 1＜n＜N。令m＝N－n＋1，则H∈Rm×n，上述矩阵称为重构吸引子轨道矩阵。为实现对信号各成分的充分分离，要求Hankel矩阵的行数和列数尽可能达到最大，故n＝N／2，m＝N／2＋1。

然后再对重构吸引子轨道矩阵进行奇异值分解。SVD的本质是将原始信号分解为一系列分量信号的简单线性叠加，一个分量从原始信号中被分离的过程就是从原始信号中简单的减去，而且各个分离出来的分量信号保持在原信号中的相位不变，也就是具有零相位偏移特性。其意义在于，可以选取感兴趣的若干分量进行简单的叠加，从而实现对信号特征信息的提取［12］。

Hankel矩阵的特点是：矩阵的后一行总是比前一行滞后一个数据点，对于理想信号所构造的Hankel矩阵，是一种病态矩阵，相邻的行都是高度相关的。这种病态矩阵的前几个奇异值比较大，后面的奇异值非常小，都近似于零，奇异值在某一点发生突变，即矩阵的秩所对应的点处。而对含噪声的信号，尽管前后两行也滞后一个数据点，但却互不相关，是一个良态满秩的矩阵。

对于含噪信号构造的Hankel矩阵有后面的q－k个奇异值明显小于前k个奇异值，也就是说奇异值在第k个点发生突变，而前k个奇异值代表了要提取的理想信号。由于每一个奇异值对应着一个分量信号，因此，只要选择前面k个分量进行简单的叠加，就可获得降低了噪声的信号。

为了合理地描述含噪信号的奇异值突变情况，定义奇异值差分谱。设所有奇异值按照从大到小的顺序形成的序列为S＝σ1，σ2，…，σq，则

将所有bi组成的序列B＝（b1，b2，…，bq－1）称为奇异值的差分谱，它描述了两两相邻奇异值的变化情况，当两相邻奇异值差别较大时，在差分谱中必将产生一个峰值，而在整个差分谱中必然存在一个最大峰值bk，根据差分谱的定义，这意味着奇异值序列在位置k处发生了最大突变。

奇异值在最大突变点处产生的最大差异根本原因就在于有用信号和噪声的相关性不同而在奇异值上表现出来的自然反应。

3 DT－CWT和奇异差分谱诊断方法

首先将信号进行DT－CWT分解，得到几个不同频段的分量。然后选择某个含有故障特征信息的分量，对其进行差分谱消噪，重构信号，并求其希尔伯特包络谱，从而找到故障频率，进行更为准确的故障识别［13，14］。该方法实现流程如图2所示。

图2 基于DT－CWT和奇异差分谱的诊断方法Fig．2 The method based on DT－CWT and different spectrum of singular value

其诊断具体步骤如下：

（1）通过对原始振动信号进行双树复小波分解和重构，得到几个频段不同的分量。

（2）对包含故障特征的分量，构建Hankel矩阵。

（3）对Hankel矩阵进行奇异值分解。

（4）求差分谱，并画出差分谱曲线图。确定谱图中最大突变点，即重构信号时需要保留的分量个数。

（5）根据步骤（4）中确定的分量个数，消除噪声，重构信号，并求希尔伯特包络谱。

（6）从希尔伯特包络谱中确定故障特征信息。

4 实验分析

实验系统如图3所示，由轴承实验台、压电式加速度传感器、数据采集仪、笔记本电脑组成。将正常和有故障轴承依次安装在轴承实验台上，进行实验数据的采集，数据采集仪将数据传到电脑中，进行数据处理分析。

图3 故障实验台Fig．3 Bearing fault test rig

该实验的滚动轴承型号为6307，电机转速为1 496r／min，采样频率为15 360Hz，模拟了实验台末端轴承外圈点蚀、内圈点蚀、滚动体点蚀及复合故障。经计算，故障特征频率如表1所示。

表1 6307轴承故障频率Tab．1 Fault frequency of 6307bearing

4．1 轴承外圈故障诊断

图4 轴承外圈故障波形及频谱Fig．4 Waveform and spectrum of bearing outer ring fault

图4为轴承外圈点蚀故障的时域波形及其幅值谱。从波形中可以看到较为明显的周期性冲击，但是故障特征不是很明显，幅值谱中亦存在较为明显的边频带，同时也存在强烈的干扰成分。故利用DT－CWT对原始信号进行4层分解，然后进行单支重构，各层重构信号为a4，d4，d3，d2和d1，得到如图5所示的不同频段的分量，可以看到第三个分量d3有较为明显的周期性冲击成分。

图5 双树复小波分解图Fig．5 Waveform of DT－CWT decomposition

将第三个分量d3作为研究对象，构造Hankel矩阵，进行奇异值分解并求得奇异值序列，进而求得奇异值差分谱，由于奇异值差分谱峰突变在前段部分，后面的都趋于零。为了清楚的观察差分谱的情况，将奇异值序列和差分谱前100个点绘在一个坐标系下，如图6所示。从图中可以看到最大的峰值发生在第6个点，奇异值序列在此位置发生了最大的突变。故保留SVD分解的前6个奇异值，其余的置为0，进行奇异值重构得到如图7所示结果。信号呈现非常好的周期性冲击，冲击周期大约为0．013s，对应的频率为76．9Hz，与轴承外圈特征频率非常接近。

图6 奇异值和差分谱前100个点Fig．6 The former 100points of singular value and singular value difference spectrum

图7 重构SVD前6个奇异值的信号波形Fig．7 Waveform of reconstruction the first six SVD singular value

对图7所示的重构信号进行希尔伯特包络解调，得到如图8所示的包络谱，可以很清楚地看到75，150和225Hz的频率，与轴承外圈特征频率的一倍、二倍和三倍频非常接近，可以断定此轴承发生了外圈故障。

图9所示为直接对d3作希尔伯特包络谱，也可以看到75Hz的频率，但是明显地出现了120，157．5Hz等一系列的虚假成分，易造成误诊断。对比分析，本文方法可以有效地提取故障特征信息。

图8 SVD重构后信号的希尔伯特包络谱Fig．8 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

图9 d3分量的希尔伯特包络谱Fig．9 Hilbert envelope spectrum of d3

4．2 轴承内圈故障诊断

同理，对于轴承内圈故障信号进行双树复小波分解，选择第二个分量d2的波形如图10所示，有较为明显的冲击成分，同时也有强烈的干扰成分。

图10 双树复小波分解后d2的波形Fig．10 Waveform of d2by DT－CWT

利用SVD分解求奇异值差分谱，最大突变点在第8个点，故选前8个奇异值重构波形如图11所示，信号有明显的周期性冲击，冲击周期大约为0．008 3s，对应的频率为120．4Hz，与轴承内圈特征频率非常接近。进一步做希尔伯特包络解调得如图的12所示的包络谱，可以很清楚地看到123．1 Hz，243．8，367．5和491．3Hz的频率，与轴承内圈特征频率的一倍、二倍、三倍和四倍频非常接近，可以断定此故障为轴承内圈故障。直接对双树复小波分解的d2做希尔伯特包络解调得如图13所示的包络谱。

图11 重构SVD前8个奇异值的信号波形Fig．11 Waveform of reconstruction the first eight SVD singular value

图12 SVD重构后信号的希尔伯特包络谱Fig．12 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

图13 d2分量的希尔伯特包络谱Fig．13 Hilbert envelope spectrum of d2

4．3 轴承滚动体故障诊断

图14 双树复小波分解后d3的波形Fig．14 Waveform of d3by DT－CWT

将轴承滚动体点蚀故障信号进行双树复小波分解，选择第三个分量d3的波形如图14所示。利用SVD分解求奇异值差分谱，最大突变在第2个点，如果最大突变点发生在前两个点，往往取第二个最大突变点，因为奇异值分量太少会丢失有效信息。第二最大突变点为第6点，故保留前6个奇异值进行重构得到的波形如图15所示。信号有明显的周期性冲击，冲击周期大约为0．019s，对应的频率为52．6Hz，与滚动体故障特征频率非常接近。进一步做希尔伯特解调得如图16所示的包络谱，对比直接对d3做希尔伯特解调得到如图17所示的包络谱。

图15 重构前6个奇异值的信号波形Fig．15 Waveform of reconstruction the first six SVD singular value

图16 SVD重构后的希尔伯特包络谱Fig．16 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

图17 d3的希尔伯特包络谱Fig．17 Hilbert envelope spectrum of d3

4．4 轴承复合故障诊断

对同时存在内圈点蚀、外圈点蚀、滚动体点蚀三种故障的信号进行双树复小波分解，选择第三个分量d3的波形如图18所示。利用SVD分解求奇异值差分谱，最大突变点是第8个点，故选前8个奇异值进行重构的波形如图19所示，信号中有明显的冲击性成分，但其周期性较为复杂，应是由多个不同频率的调幅信号复合而成。

进一步做希尔伯特解调得如图20所示的包络谱，很清楚地看到52．5，78．7和120Hz的频率，分别与轴承滚动体特征频率、外圈特征频率和内圈特征频率接近，105Hz为52．5Hz的二倍频，可以判定此故障为轴承外圈故障、内圈故障和滚动体故障的复合故障。

图18 双树复小波分解后d3的波形Fig．18 Waveform of d3by DT－CWT

图19 重构前8个奇异值的信号波形Fig．19 Waveform of reconstruction the first eight SVD singular value

图20 SVD重构后的希尔伯特包络谱Fig．20 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

5 工程案例

某钢铁厂第27架精轧机出现齿轮箱打坏事故，故障位置为II轴12号轴承，整个轴承损坏严重，停机4h。故障发生时电机转速为1 178r／min，采样频率为12 000Hz，采样点数为2 048。故障特征频率为117．187 5Hz。故障发生8天前波形及幅值谱如图21所示，波形显示有冲击成分，但根据频谱图无法准确识别故障轴承对应的特征频率。

图21 轴承滚动体故障波形及频谱Fig．21 Waveform and spectrum of original signal

为了提取故障特征，利用本文方法，首先利用双树复小波对原始信号进行4层分解并单支重构，得到如图22所示结果，可以看出第三个分量d3有较为明显的冲击成分。进行SVD分解求奇异值差分谱如图23所示。

图22 双树复小波分解图Fig．22 Waveform of DT－CWT decomposition

图23 奇异值和差分谱前100个点Fig．23 The former 100points of singular value and singular value difference spectrum

图24 重构前4个奇异值的信号波形Fig．24 Waveform of reconstruction the first four SVD singular value

保留前4个奇异值进行重构结果如图24所示，出现明显的周期性冲击，周期大约为0．008 67s，对应的频率为115．34Hz，与故障特征频率非常接近。进一步做希尔伯特包络解得到如图25所示的包络谱，可以很清楚地看到117．2，234．4Hz，…等倍频，与轴承故障特征频率117．187 5Hz非常接近。图26为直接对第3个分量d3的希尔伯特包络谱，对比本文方法，效果差了很多。

图25 SVD重构后的希尔伯特包络谱Fig．25 Hilbert envelope spectrum after SVD reconstruction

图26 d3的希尔伯特包络谱Fig．26 Hilbert envelope spectrum of d3

上述结果表明，双树复小波分解和奇异值差分谱结合，可以有效地提取故障特征频率。

6 结 论

本文研究了将双树复小波分解与奇异值差分谱结合的方法，通过滚动轴承故障实验和工程应用验证了方法的有效性。

（1）利用双树复小波变换具有近似平移不变性和有效降噪的优点，对轴承故障振动信号进行双树复小波分解和重构，得到不同频段的分量。

（2）根据奇异值差分谱理论，可以自动地判定SVD分解有效分量的个数，保留了信号中有用成分，同时又最大限度地消除了噪声。

（3）将双树复小波分解与奇异值差分谱结合的方法应用于故障诊断中，可以有效和准确地找到故障特征信息。

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