MTMD 在钢箱梁悬索桥高阶涡激振动控制中的应用＊

黄智文，陈政清

（湖南大学风工程研究中心，湖南 长沙 410082）

引 言

涡激共振是大跨度钢桥在低风速下容易出现的一种风致振动现象。它虽然不像颤振一样会对结构造成灾难性的破坏，但会影响行车的舒适和安全，频繁发生的涡振甚至会引起构件的疲劳破坏。在大跨度桥梁抗风稳定性得到保证后，涡激共振问题越来越受到重视。大跨度钢箱梁悬索桥模态密集，在常遇风速下存在多个模态发生涡激振动的可能。以已建成的的跨度1 650m的西堠门大桥为例，在0．5 Hz以下分布有10个竖向振动模态，按斯托罗哈数St为0．11估算的起振风速都在25m／s以下。

目前，涡激振动控制主要有气动措施和机械措施两种手段。气动措施是通过调整加劲梁断面的气动外形，如增加导流板和风嘴，调整栏杆、检修道等附属设施的外形和位置等，达到抑制涡振的目的。机械措施是指在结构上安装被动或者主动耗能减振装置达到振动控制的目的。丹麦Great East Belt Bridge引桥［1］，日本 Trans－Tokyo Bay Bridge［2］，巴西 Rio－Niteroi Bridge［3］，均采用 TMD 作为涡激振动控制的手段，但都以控制低阶竖弯涡激振动为目的。文献［4］研究了斜拉桥一阶竖弯涡振控制的TMD参数优化设计，考虑了涡激气动力的气动阻尼和气动刚度效应，计算结果表明涡激力的气动阻尼和气动刚度效应会影响TMD的最优频率比和阻尼比，TMD能达到的最大减振效果要小于不考虑气动阻尼和气动刚度效应时TMD的最优理论控制效果。注意到气动阻尼和气动刚度效应实质上是对TMD减振效果的一种干扰作用，这一结论正好说明了传统TMD设计缺乏必要的鲁棒性。

多重调谐质量阻尼器（MTMD），是指质量、频率和阻尼都各自分布在一定范围的一组TMD。从MTMD控制理论提出，已有众多学者研究了MTMD的控制理论和优化设计方法［5～8］，研究表明MTMD比TMD具有更高的减振效率和鲁棒性。文献［9］中把MTMD控制理论应用于桥梁抖振控制，但MTMD在涡激振动控制中的应用却鲜见于文献。

悬索桥加劲梁高阶竖弯振型存在多个波峰和波谷，因此更有利于TMD的分散布置，减小单个TMD的质量。涡激气动力的气动阻尼和气动刚度效应，以及桥梁正常运营时的活载作用都会造成桥梁固有频率或固有阻尼比的改变，进而导致TMD的减振效率降低。对分散布置的多个TMD按MTMD理论进行参数优化设计，可以利用MTMD良好的鲁棒性使一组TMD的减振效率保持在稳定的范围。鉴于此，本文以一个已建好的大跨度分体钢箱梁悬索桥为工程背景，讨论MTMD控制理论在大跨度钢箱梁悬索桥单阶竖弯涡激振动控制中的应用，并比较了MTMD与STMD系统在减振效率和鲁棒性方面的特点。

1 STMD方案与MTMD方案

本文以某已建成悬索桥加劲梁第5阶竖弯涡激振动为受控模态，讨论MTMD在竖弯涡激振动中的应用。该桥第5阶竖弯模态的固有频率为0．229 9Hz，实测值与理论值接近［10］，模态阻尼比近似取为规范建议值0．5%。

首先建立该桥的有限元模型，进行模态分析得到以无量纲坐标形式表示的加劲梁第5阶竖弯模态中跨振型图，如图1所示。

图1 加劲梁第5阶竖弯中跨振型Fig．1 The 5th vertical mode of the girder in main span

可以看出，在加劲梁第5阶竖弯振型中，中跨有3个波峰，如A，B，C所示，波峰振型向量值约为1；有两个波谷，波谷振型向量值约为0．8。3个波峰位于跨中和1／10跨径处。本文从尽量提高效率和减小单个TMD质量，并使TMD尽量分散布置的角度出发，给出了如图2所示的MTMD布置方式。

图2 TMD在加劲梁上的布置Fig．2 Layout of TMDs in the girder

TMD共分为6小组，分体箱梁左右两箱各3小组，分别位于3个波峰位置。考虑到单个TMD所需的空间，每一组中TMD的间距取为9m，与悬索桥吊杆之间的间距相同。如果这一组24个TMD均按照统一参数设计，本文称为STMD方案；如果应用MTMD参数优化理论将TMD按不同参数设计，本文称为MTMD方案。

2 基于涡激振动控制的MTMD参数优化理论

2．1 涡激力模型

为了实现MTMD的参数优化设计，需要选择合适的涡激力模型，然后通过求解加劲梁－MTMD系统的运动方程，得到加劲梁和各TMD的位移频响函数。本文采用Scanlan提出的经验线性涡激力模型，经验线性模型假定一个线性机械振子给予气动激振力、气动阻尼力以及气动刚度［11］，表示为

式中K1＝Bωs／U，ωs表示结构固有频率，Y1，Y2，CL，θ为待拟合的参数，须通过节段模型风洞试验拟合。涡激力模型中气动阻尼项和气动刚度项对MTMD参数设计的影响在于它们会引起结构阻尼比和固有频率的改变，但从本文第4节的分析中可以看到MTMD的最优参数对结构固有阻尼比并不敏感，且MTMD的控制鲁棒性好，当结构固有频率发生较大改变时，MTMD的减振效率依然可以保持在稳定的范围。因此，从简化MTMD参数优化的角度看可以在先不考虑气动阻尼项和气动刚度项的条件下推导出加劲梁的位移频响函数，再以加劲梁位移频响函数峰值极小值为目标函数，利用基于Matlab的遗传算法实现MTMD的参数优化设计。

在不考虑气动阻尼项和气动刚度项的情况下，Scanlan经验线性涡激力模型可以简化为简谐激励的形式如下

如果偏安全地认为涡激力沿桥跨方向的展项相关系数为1，则F即作用在结构单位长度上的涡激力。

2．2 加劲梁－MTMD系统的频响函数

当加劲梁发生某阶模态下的涡激共振时，在特定风速下CL（K1）为一定值，F为标准的简谐荷载，因此加劲梁－MTMD系统的运动方程是一个典型的简谐荷载激励下的多自由度系统振动方程。通过模态叠加方法可得到加劲梁－MTMD系统模态振动方程，该方程的具体表达形式在文献［7］中有详细论述，由于篇幅限制在此不做介绍。

文献［5，9］分别给出了简谐荷载激励下单一振型主结构－MTMD系统的位移频响函数，对于加劲梁有

对于第i个TMD有

其中，β＝f／fs，表示激励频率与加劲梁固有频率的比值。特别地，对于涡激振动β表示漩涡脱离频率与结构受控模态频率的比值；αi＝f／fi，表示激励频率与第i个TMD固有频率的比值；ζti表示第i个TMD的阻尼比，ζs表示加劲梁某阶模态的固有模态阻尼比；N表示TMD的个数；μi＝Mti／Ms表示第i个TMD和加劲梁受控竖弯模态的广义质量比。

其中，

式（3）～（8）构成了基于涡激振动控制的 MTMD参数优化设计的理论基础。

3 基于遗传算法的MTMD参数优化设计

3．1 目标函数的确定

进行涡激振动控制的目的是减小结构的最大涡振振幅，因此可以选择加劲梁位移频响函数峰值的极小值作为MTMD参数优化设计的目标函数。而TMD的位移频响函数峰值决定了TMD振动时的最大行程，是衡量TMD性能的一个重要指标。因此，在对MTMD进行初步参数优化后，应考虑适当增加TMD的阻尼比，保证每个TMD的行程都在条件允许的范围。但在本文的MTMD参数优化过程中并不把TMD的阻尼比作为参数优化的约束条件。

3．2 MTMD的设计参数

MTMD的设计参数包括MTMD的总质量与结构受控振型的模态质量比μtot、质量分布方式、MTMD的数量、MTMD的频率范围和分布方式、MTMD的阻尼比和分布方式以及MTMD的中心频率比。

MTMD的模态总质量越大，能达到的减振效果就越好。对于实际工程，要根据减振要求和工程预算来确定MTMD的总质量。本文仅从一般化的角度出发，讨论在给定质量比的前提下进行MTMD的参数优化设计，工程上一般取μtot＝∑Mti／Ms＝1%。该悬索桥第5阶竖弯模态质量Ms＝18 548．58t，所以 MTMD的总质量取为185．49t，单个TMD的平均质量为7．729t；MTMD的频率分布范围FR的区间取 ［0，0．1］，MTMD的阻尼比的区间取［0，0．2］，MTMD中心频率比的区间取［0．9，1．0］。值得注意的是，由于涡激共振中存在锁定现象，激励频率与加劲梁固有频率的比值β总是约等于1，但考虑到安装MTMD后结构位移频响函数峰值会从β＝1的位置发生小幅偏离，因此本文偏安全地把β的区间取为［0．9，1．1］。

考虑到实际工程的可行性，每个TMD的刚度和阻尼比都设计成相同［7，9］，单个TMD的质量由其频率和刚度确定；在MTMD中心频率比确定的前提下，TMD的频率按等差数列分布［9］。

3．3 基于遗传算法的MTMD的优化参数

MTMD的参数优化问题实际上是一个有约束条件的多变量非线性函数优化问题。遗传算法是一种基于生物进化理论的随机搜索算法，被广泛的应用于函数优化，多目标规划等领域。文献［12］运用遗传算法，以MTMD的减振效率和鲁棒性为双目标函数，进行了MTMD的参数优化设计。本文运用Matlab遗传算法工具箱［13］，以加劲梁位移频响函数峰值的极小值为目标函数，对 MTMD进行了参数优化设计，程序简单、计算效率高。由于遗传算法的初始参数对参数优化结果及解的收敛速度有较大影响，本文通过分析多组初始参数条件下MTMD的参数优化结果，最终确定了如表1所示的遗传算法初始参数。同时，为了使参数优化结果尽可能靠近全局最优解，运用遗传算法进行了30次运算，取其中的最优解作为MTMD的最终参数优化结果，如表2所示。为了方便下文阐述，把遗传算法得到的优化参数称为初始优化参数。

表1 遗传算法参数Tab．1 Parameters of Genetic Algorithm

表2 MTMD优化参数Tab．2 The optimal parameters of MTMD

STMD系统的总质量与MTMD的总质量相同，系统中每个TMD的质量、频率比和阻尼比保持一致，显然，STMD系统下加劲梁位移频响函数仍然可以用式（3）～（8）表示，用遗传算法进行参数优化设计，得到STMD参数优化结果如表3所示。

表3 STMD优化参数Tab．3 The optimal parameters of STMD

由表2和3比较可知，MTMD的位移频响函数峰值比STMD方案小17．7%，这说明MTMD的减振效率要高于STMD；MTMD的中心频率比和STMD的优化频率比非常接近，但MTMD的中心频率比更靠近1；MTMD的频率分布范围FR＝0．032 9，与结构固有频率的比值约为14%；从优化阻尼比看，MTMD的最优阻尼比远小于STMD的最优阻尼比，这对TMD的制造也是有利的。

4 MTMD鲁棒性分析

4．1 结构固有频率波动对位移频响函数峰值的影响

MTMD的鲁棒性是指MTMD的减振效率对各种影响因素的敏感程度。影响因素主要包括受控模态固有频率的变化和受控模态固有阻尼比的变化。本节以第3节求得的初始优化参数为基础，进一步讨论结构固有频率和固有阻尼比变化对MTMD减振效率的影响，分析MTMD的控制鲁棒性。

图3 结构固有频率波动与MTMD鲁棒性分析Fig．3 Comparison of robustness against error in structural natural frequency between MTMD and STMD

图3（a）和（b）表示分别调整 MTMD的频率范围和阻尼比时MTMD的位移频响函数峰值随结构固有频率波动的变化情况。从图3（a）可以看出，初始优化的MTMD在结构固有频率波动－4%～2%的范围减振效率要高于STMD，但MTMD的位移频响函数峰值随结构固有频率波动的曲线比STMD的要陡，这说明初始优化条件下MTMD的控制鲁棒性不如STMD。当把MTMD的频率分布范围分别扩大到原来的1．5倍、2倍和3倍时，结构位移频响函数峰值曲线均趋于平缓，这说明MTMD的鲁棒性得到了提高。需要注意的是，并不是MTMD的频率分布范围越大其鲁棒性就越好，可以看到当MTMD的频率分布范围约为原来的2倍时MTMD的鲁棒性最好，但控制效率下降较多；而当MTMD的频率分布范围为原来的1．5倍时，MTMD在控制效率和控制鲁棒性上都可以取得较好的效果，能够很好地满足涡激振动控制的需要。

从图3（b）可以看出，增加MTMD的阻尼比也能提高MTMD的鲁棒性，例如当MTMD的阻尼比增加到最优阻尼比的3倍时，在－10%～10%的结构固有频率波动范围MTMD的控制效率都要优于STMD，且控制鲁棒性也比STMD好。此外，通过比较图3（a）与（b）容易发现，用增加阻尼比的方法来提高MTMD的鲁棒性效果远不如增加MTMD的频率分布范围明显。通过图3（b）也可以推断，STMD的鲁棒性也会随着其阻尼比的增加而增加，但与MTMD相比，以这种方式提高STMD的控制鲁棒性是相对困难的，也会增加TMD的制作难度。但对MTMD而言，增加阻尼比对其自身是有益的，因为MTMD的优化阻尼比很小，可能会导致其行程过大。因此，MTMD的最终设计参数应该在初始优化参数的基础上适当地扩大MTMD的频率分布范围，并适当增加其阻尼比，具体参数的选取还需要从实际工程条件和需求出发。

4．2 结构固有阻尼变化对位移频响函数峰值的影响

图4（a）和（b）分别反映了当结构固有阻尼比在0～0．1之间变化时，调整MTMD频率分布范围和调整MTMD阻尼比对结构位移频响函数峰值的影响。从图4（a）中可以看出，结构的固有阻尼比越小、MTMD频率分布范围越大，对MTMD控制效率的不利影响就越大。例如，以结构固有阻尼比为0．5%设计的MTMD对结构阻尼比在0～0．5%范围波动的相同结构都有良好的控制效果。但如果把MTMD的频率分布范围扩大到原来的1．5倍或2倍，结构位移频响函数峰值就会有较大幅度地增加，即MTMD的减振效率会有所降低。

从图4（b）中可以看出，MTMD的阻尼比对其控制鲁棒性影响较小，即使MTMD的优化阻尼比扩大到原来的2倍，它在结构固有阻尼比为0～0．05的范围仍可以保持很高的控制效率。

4．3 关于气动阻尼项和气动刚度项的讨论

图4 结构固有阻尼变化与MTMD鲁棒性分析Fig．4 Robustness of MTMD against variations in structural mechanical damping ratio

表4 结构固有阻尼比与MTMD优化参数Tab．4 Mechanical damping ratios and optimal parameters of MTMD

线性涡激力模型中的气动阻尼项和气动刚度项对MTMD振动控制方程的影响在于它们分别改变了受控系统的固有阻尼比和固有频率，从而使MTMD的参数优化结果发生变化。表4列出了不同结构固有阻尼比对应的MTMD参数优化设计值。表中结构固有阻尼比的范围只取0～0．02，这是因为会发生涡激振动的结构其固有阻尼比往往很低，一般都在0．5%以下。若气动阻尼为负阻尼则结构的总阻尼下限为0，若气动阻尼为正阻尼这里取其上限值为0．02。容易看出，MTMD的优化设计参数对结构固有阻尼比并不敏感，在结构固有阻尼比为0～0．02的范围，MTMD的最优频率分布范围、最优阻尼比和最优中心频率比的波动均在10%以内，如果从波动的绝对值看波动就更小。这说明对于涡激振动控制，在进行MTMD参数优化设计时不考虑气动阻尼对结构固有阻尼比的干扰是可行的。

至于气动刚度项对结构固有频率的影响，通常认为是可以忽略的［14，15］，即在涡振振幅达到最大值时气动刚度参数Y2总是约等于0，文献［4］的参数识别结果可以说明这一点。而且，适当地增加MTMD的频率分布范围或提高MTMD的阻尼比就可以显著地提高其对结构固有频率波动的鲁棒性。因此，在进行MTMD参数优化设计时不考虑气动刚度项也是合理的。需要说明的是，虽然在进行参数优化时可以不考虑涡激力中的气动阻尼和气动刚度项，但要精确计算MTMD的减振效率仍然需要先通过节段模型风洞试验对线性涡激力模型进行参数识别，得到气动阻尼、气动刚度和强迫力项。

5 结 论

本文以一座已建悬索桥为算例，讨论MTMD在悬索桥单阶竖弯涡激振动控制中的应用。对TMD在加劲梁上的同一组布置方式，定义了STMD和MTMD两种方案，从涡激振动控制效率和鲁棒性两方面进行对比研究。计算结果表明，在进行MTMD参数优化设计时忽略线性模型中的气动阻尼和气动刚度项是可行的，适当地增加MTMD的最优频率分布范围和阻尼比可以使其在减振效率和鲁棒性两方面获得更好的平衡，更适合悬索桥高阶竖弯涡激振动控制。

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