轨道随机不平顺影响下高速铁路地基动力分析模型＊

冯青松，雷晓燕，练松良

（1．华东交通大学铁路环境振动与噪声教育部工程研究中心，江西 南昌 330013；2．同济大学道路与交通工程教育部重点实验室，上海 201804）

引 言

高速列车在轨道上行驶时将引起轨道、路基及地基的振动，当振动波通过地基传递到建筑物基础时将诱发建筑物振动及辐射低频结构噪声，形成环境振动问题，对人们的日常生活和工作产生影响。路基及地基振动是铁路环境振动中最基本问题，是进行环境振动预测、减振及隔振设计的基础。影响地基振动的因素众多，如列车类型、行车速度、轮轨表面的平顺状态、轨道结构类型、路基及地基中土层分布及土体材料特性等。近年来国内外铁路工作者对高速铁路地基振动给予了大量关注，出现了许多有代表性的研究成果［1～17］。

在这些研究中，一般采用基于频率－波数域的解析或半解析法［1～10］，数值计算方法如有限元［11～14］、有限元－边界元混合法等［15～17］。数值计算方法具有强大的分析能力，能较好地适应复杂系统的不同状况，但当列车高速运行时，计算模型必须很大，计算时间步长需很短，这样计算成本很高，特别是在设计阶段，需进行大量的方案比较，此时数值计算方法的应用受到很大的限制。解析或半解析法通过适当的几何简化，能较好地分析复杂系统振动的基本特性，具有高效的计算效率，受到学者和工程师的推崇。文献［1～5］采用解析法分析了移动轴荷载作用下轨道－地基或轨道－路基的振动响应，但未考虑车辆与轨道的耦合振动。文献［6～8］将轨道不平顺考虑为谐波不平顺，通过车辆－轨道－地基耦合振动模型分析了列车行驶引起的地基振动。文献［9］提出了轨道随机不平顺功率谱密度与地基表面位移功率谱之间的关系式，得到地基表面位移功率谱，但文中所建模型不能得到动态轮轨力，也很难应用于地基表面振动的时程分析。文献［10］建立了分析轨道随机不平顺影响下地基振动的半解析模型，但由于使用了解析法、边界元法等多种理论方法，理论推导复杂，编程难度很高，计算效率较低。

作者曾建立了车辆－轨道－路基－地基耦合系统垂向振动模型，轨道不平顺考虑为谐波不平顺。本文在已有研究的基础上，引入虚拟激励法和谐波叠加原理，建立了轨道随机不平顺影响下高速铁路地基振动分析模型，通过与现场试验数据对比验证了模型的有效性。与文献［9，10］所建模型相比，本文模型思路清晰易懂，程序编制相对简单，计算效率高，适用于对轨道随机不平顺影响下高速铁路地基振动进行时域及频谱分析。

1 虚拟激励法求解轨道随机不平顺引起的动态轮轨力功率谱

列车荷载作用下地基的动应变很小，一般考虑为线弹性体，因此在研究铁路地基振动时，一般将车辆－轨道－路基－地基系统考虑为线性系统。在文献［7］中作者建立了基于线性系统假设的车辆－有砟轨道－路基－地基耦合系统垂向振动模型（见图1）。模型中轨道不平顺考虑为谐波不平顺。移动车辆考虑为弹簧与阻尼器连接的多刚体系统；包括钢轨、扣件及垫板、轨枕、道床、路基基床的轨道结构考虑为层状弹性多层梁模型；路堤本体－地基考虑为层状半空间体；车轮和钢轨为线性赫兹弹性接触。由轮轨接触点处位移限制条件，可求解得动态轮轨力的方程

式中AW，AR分别为车辆在轮对处、轨道－路基－地基系统在轮轨接触点处的柔度矩阵，AΔ为轮轨线性赫兹接触柔度系数矩阵，Δz（）Ω为轮轨接触点处轨道表面谐波不平顺，P（Ω）为动态轮轨力幅值，上述各式的具体表达式见文献［7］。

图1 车辆－轨道－路基－地基耦合系统垂向振动模型Fig．1 Vertical vibration model of the vehicle－track－subgrade－ground coupled system

虚拟激励法是中国学者林家浩等提出的用于分析结构系统随机振动的新方法，其具体原理见文献［18］．当列车在具有轨道不平顺的铁路轨道上运行时，同一条轨道上的任意两车轮可以认为受到相同的轨道不平顺激励作用，两激励间存在某一时间差，即第一个输入激励点之后各点的输入可视为前一个输入点的简单延时。设系统受到M点（M个轮对）异相位平稳随机激励Δz（t），则有

式中 Δz（t）为轨道高低不平顺平稳随机激励的时间历程函数；tj（j＝1，2，…，M）为各激励点处的激励滞后时间，tj＝（aj－a1）／c，aj为t＝0时第j个轮对的位置坐标，c为列车运行速度；Δz（t）可视为一个广义的单激励。设Δz（t）的自谱密度为Sv（Ω），则相应的虚拟激励可设为

由于轨道不平顺功率谱一般为以空间圆频率表示的单边功率谱Sv（β），而Sv（Ω）为时间功率谱，因此计算中需首先将轨道不平顺功率谱转换为以时间圆频率表示的单边功率谱。时间圆频率Ω＝βc，β为空间圆频率，则时间功率谱Sv（Ω）为

将式（7）代入式（4），利用上述方法可得到轨道随机不平顺引起的动态轮轨力的单边功率谱密度SPP（Ω）。常规的动态轮轨力计算中，需先由轨道不平顺功率谱反演轨道不平顺样本，再由轨道不平顺样本求解动态轮轨力功率谱。本文直接利用轨道不平顺功率谱得到准确的动态轮轨力功率谱，减少了误差，极大地减小了计算工作量。

2 求解轨道－路基－地基随机振动响应的谐波叠加法

轨道随机不平顺一般可考虑为平稳的各态历经随机过程，由于整个系统模拟为线性定常系统，则动态轮轨力P（t）也为平稳随机过程。由随机振动理论知，激振力P（t）作用于轨道上固定点时，轨道－路基－地基系统的振动响应也应为平稳随机过程；但当P（t）在轨道上移动时，此时即使激振力为平稳随机过程，但轨道－路基－地基系统的振动响应却为非平稳随机过程。对于平稳随机过程，用一个功率谱密度函数就足够来描述整个过程；而对于非平稳随机过程，则每一个时刻都有一个功率谱密度函数，需用谱场（功率谱随频率和时间的变化）来表示。由于谱场计算非常复杂，且没有明确的物理意义，因此工程上一般仍借用平稳随机过程的方法来近似处理非平稳随机过程。本文将非平稳随机过程近似处理为平稳随机过程。

动态轮轨力P（t）可表示为指数傅立叶级数形式，即

式中P0为轴荷载。根据线性系统叠加原理，轨道－路基－地基系统的随机振动响应为移动轴荷载和所有动态轮轨力谐波分量引起的振动响应的叠加。

对式（10）取模的平方，并考虑到各谐波分量之间相互独立，则得相应的地基表面的位移能量谱为

式中T为观测周期，取列车通过某点的时间。同理，可求出钢轨、轨枕、道砟和基床表面加速度功率谱密度的估计值。

式（11）表明，能量谱的计算需在频率Ωk，－Ωk处计算位移响应频谱，而且为得到精确而光滑的能量谱，频率采样点数N应取很大，对尽量多的谱频率计算能量谱，因此计算工作量非常大。为此需研究位移响应频谱的简化计算方法。

由文献［7］可知，在移动谐荷载作用下地基表面位移可表示为

令（Ωk－2πf）／c＝βk，则式（16）变为

根据关于x，y的空间双重傅里叶逆变换公式

式（17）可改写为

由式（9）知，作用于轨道上的总荷载为轴荷载和傅立叶级数表示的N个正负谐波分量的叠加，移动轴荷载可看作频率Ω＝0的谐波分量。在任一个谐波分量作用下轨道－路基－地基系统各部分的振动响应时程可根据文献［7］计算得到。根据线性系统叠加原理，振动响应的总时程为所有谐波分量作用下的时程叠加。为提高计算效率，可将动态轮轨力谐波分量划分为合适的谐波区间，根据能量等效原则计算出谐波区间中心频率处动态轮轨力的等效幅值，这样求解振动响应的总时程只需在各谐波区间中心频率处计算即可。

谐波区间中心频率处的动态轮轨力等效幅值的计算方法：假定动态轮轨力时域信号为a（t），其功率谱密度为SPP（f），f为频率。某一个频带的下限频率是fl，上限频率是fu，该频带总的功率为

假设该功率是由某频率等于该频带中心频率的简谐振动产生的，该简谐振动的振幅为A，则中心频率处的动态轮轨力有效值为

采用谐波叠加法求解轨道－路基－地基系统随机振动响应功率谱和时程，思路清晰；另外通过在波数域内直接计算位移频谱、划分合适的谐波区间等，可大大提高求解随机振动响应功率谱和时程的计算效率。

3 试验验证

3．1 计算参数

为验证本文所提模型的合理性，于2010年1月在沪宁铁路嘉定段进行了地基振动现场测试，模型计算结果与实测结果进行了对比分析。

测试地段为双线电气化铁路，路堤高约1．5m。选择靠近下行线线路一侧平坦地面进行测试，在距下行线线路中心线14，24，34，44m处同时布置4个测点，每个测点同时测试x，y，z三个方向的地基表面振动加速度。将VM53A检测到的信号输出到INV306U5206数据采集分析仪，并利用DASP分析软件进行分析处理。

针对测试地点实际工况，选择合适参数，利用文中模型进行计算分析。列车类型CRH2，运行速度200km／h，CRH2动车组车辆基本参数见表1，单节CRH2动车车辆结构参数见表2。

表1 CRH2动车组基本参数Tab．1 Basic parameters of CRH2train

表2 单节CRH2动车车辆结构参数Tab．2 Parameters of single－unit CRH2vehicle

表3 有砟轨道结构参数Tab．3 Parameters of ballasted track

由于无测试地段的轨道不平顺实际参数，轨道随机不平顺选取德国低干扰高速线路轨道谱，该不平顺也是中国高速铁路总体技术条件下进行列车平稳性分析时建议采用的谱密度函数，其轨道高低不平顺谱密度表达式为

式中β为轨道不平顺的空间角频率（rad／m）；βc，βr，Av依次取值为0．824 6rad／m，0．020 6rad／m，4．032×10－7m·rad。

测试点地基土体为灰色粉性土，参考上海地区工程勘察报告取测试地段地基土层参数见表4。

表4 测试地段地基土层计算参数Tab．4 Parameters of ground on the test site

3．2 地基表面振动加速度频谱的理论计算与实测结果比较

选取3．1中计算参数，利用本文模型对试验实际工况进行计算分析，理论计算与实测的地基表面测点振动加速度振级见图2。由图可看出：理论计算的1／3倍频程频谱与实测结果吻合较好，特别是在低频段和距离轨道较近测点如14m测点，这证明了本文理论模型的合理性。另外由图也可看出：在高频段理论预测与实测结果两者偏差较大；距轨道中心线较远测点，模型预测精度有所下降。产生这种结果可能与土体模型的简化假定有关。当前土体模型为半无限大层状土体模型，各层土考虑为均质且各向同性的粘弹性体，而实际地基中土体为非均质、各向异性体，其空间分布经常会出现局部变化。当考虑低频振动时，土体中振动波主要波长较长，小范围的土体变化不影响这些主要波长，然而当频率较高时，小范围的土体变化可能影响土体中较短波长的振动波。

3．3 地基表面振动加速度时程的理论预测与实测结果比较

理论计算和实测的距下行线路轨道中心线14，24，34和44m四个测点处振动加速度时程曲线见图3。

图2 距下行线路轨道中心线不同距离测点垂向振动加速度级Fig．2 Vertical acceleration level at different distance test points from the track centre－line of the down line

图3 距下行线轨道中心线不同距离测点垂向振动加速度时程曲线（左、右图分别为实测与理论计算结果）Fig．3 Vertical acceleration time history at different distance test points from the track centre－line of the down line（the left and right figure are the measured and theoretical calculation results respectively）

由图3可看出：除24m测点处理论预测的最大垂向振动加速度比实测结果偏大外，其他测点处理论预测的最大垂向振动加速度时程与实测结果吻合较好。这进一步证明了利用本文模型预测地基振动的合理性。从实测和理论计算结果可清晰地看出地基表面垂向振动加速度随距轨道中心线距离的增加而不断衰减。

4 结 论

本文建立了考虑轨道随机不平顺的车辆－有砟轨道－路基－层状地基垂向耦合振动解析模型。模型中，将虚拟激励法和解析的波数－频率域法有效结合起来，由轨道不平顺的功率谱密度，直接得到准确的动态轮轨力功率谱。利用谐波叠加原理，将移动列车轴荷载和轨道随机不平顺引起的动态轮轨力考虑为谐波叠加形式，根据线性系统叠加原理，求得地基动力响应的振动加速度功率谱密度估计值和时程。与既有模型相比，本文模型思路清晰易懂、程序编制相对简单，计算效率高，适用于对轨道随机不平顺影响下高速铁路地基振动进行时域及频谱分析。通过与现场试验结果对比分析，证明了本文所提解析模型的合理性。

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