对高等数学教学中培养学生的“一般化”能力的思考

姜绍忠 李俊平

【摘 要】本文在对高等数学的内容进行研究的基础上，分析出高等数学教材中“一般化”的内容，进而提出在高等数学教学中教会学生”一般化”的建议。本论文的研究有利于实现让学生掌握数学思想方法的教学目标。“一般化”是培养学生数学意识的重要手段。

【关键词】高等数学；“一般化”

波利亚在《数学与猜想》一书中讨论了“一般化”的概念及应用，他认为应该讨论“一般化”过程本身，“一般化”是获得发现的伟大源泉 。为此，在高等数学教学中培养学生的“一般化”能力，对于培养学生的“合情推理”能力具有重要的意义。中学数学课程标准中强调培养学生的数学意识和数学应用能力，“一般化”是培养学生数学意识的重要手段。

1.“一般化”的内涵

波利亚认为“一般化”是从对象的一个给定集合进而考虑到包含这个给定集合得更大集合。并以哥德巴赫猜想的提出为例对“一般化”的作用进行了论述。例如，我们从考虑三角形进而考虑到任意多边形；我们从锐角三角形进而考虑到任意三角形。“一般化”是按着两个不同特征方式进行的。第一个例子我们用一个变数n（≥3）代替一个定数3；第二个例子我们去掉一个限制（0°<α<90°）。波利亚不仅给出“一般化”的定义，而且给出了“一般化”的方法，这是我们在数学教学过程中需要学习的。

2.对高等数学课程中“一般化”内容的思考

在高等书写的教材编排体系中，由于数学学科的特点、学生的年龄特点以及社会对数学知识的需要，决定数学的编排体系是呈螺旋式上升的，是由特殊到一般的，遵循了人类数学文化形成的规律。为此，在数学教学中教会学生“一般化”是非常重要数学方法。

高等数学从一元函数的概念、极限、连续性、导数及微分的研究，“一般化”到多元函数的微分学，并强调从一个自变量到两个自变量的函数有些内容是全新的，而三元直至n元函数之间，只是形式上的不同，却没有本质上的的区别。为此，对于一元函数的教学研究尤为重要。学生只有在理解和掌握一元微积分的基础上，才能“一般化”进而理解和掌握多元微积分学。教学中心应该放在对一元函数微积分的教学部分。其中的向量代数与空间解析几何部分的内容，空间解析几何是中学学习的平面几何的“一般化”，不仅可以用代数方程的一些性质来研究图形性质，而且空间解析几何还能为二元函数提供直观的几何解释。

例如，关于n维空间的内容，书中是从一维空间开始”一般化”。从数轴上的点与实数的一一对应关系，从而实数的全体表示数轴上一切点；在平面上引入平面直角坐标系后，坐标平面内的点与有序二元数组（x，y）一一对应，从而有序二元数组（x，y）的全体表示平面上一切点的集合；在空间引入直角坐标系后，空间的点与三元有序数组（x，y，z）一一对应，从而有序的三元有序数组（x，y，z）的全体表示空间的一切点集合；在上述就知识的总结回顾的基础上进行“一般化”，给出n维空间的概念：一般地，设n为取定的一个自然数，我们称为有序n元数组的全体为n维空间，而每个有序n元数组称为n维空间的一个点，数x称为该点的第i个坐标，n维空间记为R。

并对平面两点间的距离公式的一般化给出了n维空间的两点和间的距离公式：

|PQ|=。

例如，在一元函数部分定义了函数的连续性：“设函数f（x）在x的某邻域内有定义，若f（x）=f（x），则称f（x）在x连续。”“一般化”的给出了二元函数连续性的定义和n元函数连续性的定义。“设函数z=f（x，y）在点P及其邻域内有定义，f（x，y）=f（x，y）。即对任意ε>0，存在δ>0，对任意（x，y）∈（p，δ），有|f（x，y）-f（x，y）|<ε则称函数f（x，y）在点连续。”在二元函数连续性的基础上，可相应的地推广到n元函数f（p）上去。

3.关于在高等数学教学中教会学生“一般化”的建议

通过上面的思考，我们发现学生能否”一般化”需要条件和基础。建构主义认为影响学生学习的主要因素是学生已经知道了什么。因此，学生是否能够“一般化”，教师在教学中要知道学生已经知道了什么即了解学生的基础。关于高等数学教学提出以下几点建议：

（1）在高等数学教学中，一定要把一元函数部分基础打好，让学生真正理解和掌握一元函数微分学相关的基本概念和原理，这是后面学生学习“一般化”的必要条件。

（2）在一元函数微分学的教学过程中，要根据学生的实际情况对教材内容进行整合，以保证学生能够接受，保证教学质量，从而有利于学生“一般化”，培养学生的数学意识。

（3）在高等数学教学中，注重数学概念等实际背景，让学生真正掌握几何意义，这样有利于学生理解数学概念的原理，为学生的后续学习过程中的“一般化”奠定基础，且不可盲目的追求教学速度而略去这些学生必须的经历。

（4）教师要不断研究教育理论和心理学理论，特别是数学教育理论，对教育家的观点要进行进行不断的思考，研究“一般化”的数学方法并结合自己的教学内容进行实践。在课堂教学过程中为学生对已有数学知识的“一般化“创造机会或条件。

【参考文献】

[1]波利亚著，李心灿，王日爽，李志尧译.数学与猜想（第一版）.科学出版社，2001，7，1：11.