非扩张半群， 变分不等式和均衡问题的混合迭代算法
2013-09-03胡长松
文 萌，胡长松
(湖北师范学院 数学与统计学院，湖北 黄石 435002)
0 前言
除非特别声明， 在本文中我们都假设H是实Hilbert空间， 内积和范数分别由‖·‖和 <.，.>
给出， 并且C是H上的非空闭凸子集. 设{xn}是H中的任意一个序列， 则xn→x和xn⇀x分别表示{xn}强收敛和弱收敛.
映射T:C→C称为是非扩张的， 若
‖Tx-Ty‖≤‖x-y‖，∀x，y∈C
(1)
含参量序列Γ:={T(t):0≤t<∞} 称为C到C上的一个(连续)Lipschitzian半群，若它满足下面的条件:
1)T(0)x=x， ∀x∈C;
2)T(s+t) =T(s)T(t) ， ∀s，t≥0;
3) 对每一个t> 0， 存在一个有界可测函数Lt:(0，∞)→[0，∞) 使得
‖T(t)x-T(t)y‖≤Lt‖x-y‖，x，y∈C;
4) 对每一个x∈C， 映射T(·)x:[0，∞)→C是连续的.
令A:C→H是一个非线性算子.则A称为
1) 单调的， 若
2)α-强单调的， 如果存在一个常量α>0使得
3)α-逆强单调的， 如果存在一个常量α>0使得
4) k-Lipschitz连续的， 如果存在一个常量k> 0使得
‖Ax-Ay‖≤k‖x-y‖，∀x，y∈H.
给出φ:C→H是一个非线性算子， 则变分不等式问题(简记为VIP)是寻找x∈C使得
<φx，y-x≥0，∀y∈C
(2)
VIP(2)的解定义为VI(C，φ). 众所周知， 如果φ是C上的一个强单调并且Lipschitz 连续的算子， 则VIP(2)有唯一的解.
混合均衡问题(简记为 MEP)是求x∈C使得下面的不等式成立:
(3)
(4)
受到 Kazmi K R和Rizvi S H[1]， Kumam P和Wattanawitoon K[2]的启发. 本文是在实Hilbert空间中， 用混合迭代算法逼近含参量非扩张半群解集， 变分不等式解集， 混合平衡问题解集的公共解， 并且通过这种方法得到了一个强收敛定理. 本文推广和改进了 Kazmi K R和Rizvi S H[1]， Kumam P和Wattanawitoon K[2]的相应结论以及许多前人的相应结论.
1 预备知识
众所周知， 在实的Hilbert空间H中有
‖x-y‖2=‖x‖2-‖y‖2-2
(5)
和
‖λx+(1-λ)y‖2=λ‖x‖2+(1-λ)‖y‖2-λ(1-λ)‖x-y‖2
(6)
∀x，y∈H和λ∈[0，1] .
令C是H上的非空闭凸子集. 对每一个x∈H， 在C中存在唯一的最近点，记为PCx， 并且使得
‖x-PCx‖≤‖x-y‖ ∀y∈C
(7)
P称为H到C上的度量映射. 众所周知，PC是H到C上的一个非扩张映射，并且满足
(8)
∀x，y∈H. 此外，PCx还具有下面的一些性质:PCx∈C和
(9)
‖x-y‖2≥‖x-PCx‖2+‖y-PCx‖
(10)
任意的∀x∈H，y∈C.显而易见，我们有
u∈VI(C，φ)⟺u=PC(u-λφu)，∀λ>0
在本文中我们主要用到下面的一些引理.
引理1 (Shimizu和Takahashi[3]). 设D是实Hilbert空间H的一个非空有界闭凸子集， 并且令 S={T(u):0≤u<∞} 是D上的一个非空扩张半群， 则对任意的h≥0，
令r> 0并且x∈H. 则存在z∈C使得
则下面的结论成立:
1)Tr是单值的;
2)Tr是稳定非扩张型映射， 即对任意的x，y∈H，
‖Tr(x)-Tr(y)‖2≤
引理4[6]令{an} 是一个非负实序列且满足
an+1≤(1-δn)an+bn+σn，n∈
2 主要结果
(11)
定义的序列， 这里{rn}⊂(0，2θ)，λn⊂(0，2α) ， 并且{αn}，{βn}，{δn}，{εn} 是(0， 1)中的序列. 假设下面的条件成立:
则{xn} 强收敛于z， 这里z:=PΩ(γφ+(I-μF))z.
证 不失一般性， 由条件i)和ii)对每一个n∈， 我们可以假设由引理5我们有
‖((1-βn)I-αnμF)x-((1-βn)I-αnμF)y‖=
(1-βn-αnτ)‖x-y‖
(12)
第一步. 证明{xn} ，{yn} ，{zn} 和{un} 都是有界的.对任意的x，y∈C:
‖x-y‖2-λn(2α-λn)‖AX-Ay‖2≤‖x-y‖2
因此，I-λnA是非扩张的.
由引理3有un=Trn(xn-rnφxn) . 令x*∈Ω， 则
‖un-x*‖2=‖Trn(xn-rnφxn)-Trn(x*-rnφx*)‖2≤
‖(xn-rnφxn)-(x*-rnφx*)‖2=
‖(xn-x*)-rn(φxn-φx*)‖2≤
‖xn-x*‖2-rn(2θ-rn)‖φxn-φx*‖2≤
‖xn-x*‖2
(13)
因为映射A:C→H是α-逆强单调的， 所以我们有
‖zn-x*‖2=‖PC(un-λnAun)-PC(x*-λnAx*)‖2≤
‖(un-λnAun)-(x*-λnAx*)‖2≤
‖un-x*‖2-λn(2α-λn)‖Aun-Ax*‖2≤
‖un-x*‖2≤‖xn-x*‖2
(14)
此外， 我们还有
‖yn-x*‖=‖δnγφ(zn)+εnzn+((1-εn)I-δnμF)zn-x*‖≤
(1-δn)(τ-γ))‖xn-x*‖+δn‖γφ(x*)-μFx*‖
(15)
由(11)， 我们得到
‖xn+1-x*‖≤αn(‖γφ(xn)-γφ(x*)‖+‖γφ(x*)-μFx*‖)+
βn‖xn-x*‖+(1-βn-αnτ)‖yn-x*‖≤
[1-(αn+(1-βn-αnτ)δn)(τ-γ)]‖xn-x*‖+
(αn+(1-βn-αnτ)δn)‖γφ(x*)-μFx*‖≤
(16)
由归纳法得到
由(15)， 我们有
由文献[8]中定理1的证明， 我们可以知道
(17)
此外，我们观察到
(18)
由映射 (I-λnA) 的非扩张性， 我们有
‖zn-zn-1‖≤‖un-un-1‖+|λn-λn-1|‖Aun-1‖
(19)
另外我们还有
‖yn-yn-1‖≤|δn-δn-1|(‖γφ(zn)‖+‖μFzn-1‖)+|εn-εn-1|(‖zn‖+‖zn-1‖)+
(1-δn(τ-γ))‖zn-zn-1‖+(εn-1-εn)‖zn-zn-1‖
(20)
(21)
由文献[1]中定理1的证明， 我们知道
(22)
这里M1=sup{‖un-xn‖:n∈} .
把(19)， (20)和(22)代入(21)， 可以得到
‖wn-wn-1‖≤|δn-δn-1|(‖γφ(zn)‖+‖μFzn-1‖)+
(23)
由(11)， 我们知道xn+1=αnγφ(xn)+βnxn+((1-βn)I-αnμF)wn于是
‖xn+1-xn‖≤αnγ‖xn-xn-1‖+|αn-αn-1|(‖γφ(xn-1)‖+
‖μFwn‖)+|βn-βn-1|(‖xn-1‖+‖wn-1‖)+
βn‖xn-xn-1‖+(1-βn-αnτ)‖wn-wn-1‖
(24)
把(23)代入(24)， 可以得到
|δn-δn-1|+|εn-εn-1|+|rn-rn-1|+|rn-rn-1|+
(25)
(26)
‖xn+1-x*‖2≤βn‖xn-x*‖2+(1-βn)‖yn-x*‖2+2αn‖γφ(xn)-μFwn‖‖xn+1-x*‖
(27)
另外我们知道
‖yn-x*‖2≤‖zn-x*‖2+2δn‖γφ(zn)-μFzn‖‖yn-x*‖
(28)
把(28)代入(27)得到
‖xn+1-x*‖2≤βn‖xn-x*‖2+(1-βn)‖zn-x*‖2+2(αn+δn)M2
(29)
把(13)代入(29)得到
‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2-(1-βn)rn(2θ-rn)‖φxn-φx*‖2+2(αn+δn)M2
于是
(1-βn)rn(2θ-rn)‖φxn-φx*‖2≤
‖xn-xn+1‖(‖xn-x*‖+‖xn+1-x*‖+2(αn+δn)M2
根据条件i)， ii)， iii)和(26)知
(30)
此外， 把(14)代入(29)可以得到
‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2-(1-βn)λn(2α-λn)‖Aun-Ax*‖2+2(αn+δn)M2
于是
(1-βn)λn(2α-λn)‖Aun-Ax*‖2≤
‖xn-xn+1‖(‖xn-x*‖+‖xn+1-x*‖)+2(αn+δn)M2
由条件i)， ii)， iii)和(26)知
(31)
类似于文献[9]中(b)的证明，由(5) 和(8)， 我们还可以得到
于是
‖zn-x*‖2≤‖xn-x*‖2-‖un-zn‖2+2λn‖un-zn‖‖Aun-Ax*‖
(32)
把(32)代入(29)， 我们有
‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2-(1-βn)‖un-zn‖2+
2λn‖un-zn‖‖Aun-Ax*‖+2(αn+δn)M2
于是
(1-βn)‖un-zn‖2≤‖xn-xn+1‖(‖xn-x*‖+‖xn+1-x*‖)+
2λn‖un-zn‖‖Aun-Ax*‖+2(αn+δn)M2
由条件i)， ii)， iii) ，(26)和(31)可以得到
(33)
同理由引理3知
于是
‖xn-x*‖2-‖un-xn‖2+2rn‖un-xn‖‖φxn-φx*‖2
(34)
把(34)代入(29)有
‖xn+1-x*‖2≤‖xn-x*‖2-(1-βn)‖un-xn‖2+
2rn‖xn-un‖‖φxn-φx*‖+2(αn+δn)M2
于是
(1-βn)‖un-xn‖2≤‖xn-xn+1‖(‖xn-x*‖+‖xn+1-x*‖)+
2rn‖xn-un‖‖φxn-φx*‖+2(αn+δn)M2
(35)
由于yn=δnγφ(zn)+εnzn+((1-εn)I-δnμF)zn， 所以
‖yn-zn‖=‖δnγφ(zn)+εnzn+((1-εn)I-δnμF)zn-zn‖=δn‖γφ(zn)-μFzn‖→0
(36)
此外， 由(33)， (35)和(36)， 我们知道对每一个h∈[0，∞)
‖T(h)yn-T(h)xn‖≤‖yn-xn‖≤‖yn-zn‖+‖zn-un‖+‖un-xn‖→0
(37)
故， 由(18)和(37)可以得到
‖T(h)yn-xn‖≤‖T(h)yn-T(h)xn‖+‖T(h)xn-xn‖→0
因此， 对每一个h∈[0，∞) 有
‖T(h)yn-yn‖≤‖T(h)yn-xn‖+‖xn-yn‖→0
(38)
观察到PΩ(γφ+(I-μF)) 是一个压缩映射. 事实上， 对任意的x，y∈H， 由引理5有
‖PΩ(γφ+(I-μF))x-PΩ(γφ+(I-μF))y‖≤
‖γφ(x)-γφ(y)‖+‖(I-μF)x-(I-μF)y‖≤
γ‖x-y‖+(1-τ)‖x-y‖=(1-(τ-γ))‖x-y‖
由压缩映射原则我们可以知道PΩ(γφ+(I-μF))z有唯一的不动点， 记作z∈H. 即为z=PΩ(γφ+(I-μF))z. 为了证明我们的结论， 取 {yn} 的子列{ynj} 使得
(39)
a) 首先， 证明ω∈VI(C，A) . 类似于文献[9]中定理11的证明， 我们可以证得ω∈VI(C，A)
第五步 证明xn→z. 事实上， 由(11)和(18)知
‖xn+1-z‖2=<((1-βn)I-αnμF)wn-((1-βn)I-αnμF)z，xn+1-z>+
βn<(xn-z)，xn+1-z>+αn<(γφ(xn)-μFz)，xn+1-z>≤
(1-αn(τ-γ))‖xn-z‖‖xn+1-z‖+δn‖γφ(z)-μFz‖‖xn+1-z‖+
αn<(γφ(xn)-μFz)，xn+1-z>≤
δn‖γφ(z)-μFz‖‖xn+1-z‖+αn<(γφ(xn)-μFz)，xn+1-z>
于是
‖xn+1-z‖2≤(1-αn(τ-γ))‖xn-z‖2+
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